แบบรูปและความสัมพันธ์

องค์ความรู้

• แบบรูป คือชุดของสิ่งต่าง ๆ ที่เรียงกันตามกติกาเดียวกันซ้ำ ๆ — พอรู้กติกาแล้วเราทำนายสิ่งที่อยู่ถัดไปได้ทันที
• ลำดับจำนวน คือการเขียนจำนวนหลายจำนวนเรียงกันตามแบบรูป จำนวนแต่ละตัวเรียกว่า พจน์ เช่น ลำดับ $3, 7, 11, 15, \ldots$ มี $4$ พจน์ที่เขียนไว้ ส่วนพจน์ที่ $5$ ยังต้องหา
• กติกาที่พบบ่อยมี 4 แบบ
  • บวกหรือลบทีละจำนวนเท่ากันทุกคู่ เช่น $3, 7, 11, 15, \ldots$ เพิ่มทีละ $4$
  • คูณหรือหารด้วยจำนวนเท่ากันทุกคู่ เช่น $2, 6, 18, 54, \ldots$ คูณทีละ $3$
  • เป็นจำนวนชุดพิเศษที่รู้จักอยู่แล้ว เช่น จำนวนกำลังสอง $1, 4, 9, 16, \ldots$ หรือจำนวนคู่ จำนวนคี่
  • เป็นสองชุดสลับกันไปมา เช่น $1, 10, 2, 20, 3, 30, \ldots$ — ชุดตำแหน่งคี่เพิ่มทีละ $1$ ชุดตำแหน่งคู่เพิ่มทีละ $10$
• วิธีหาแบบรูปอย่างมั่นใจ ให้หาผลต่างของพจน์ที่ติดกัน $2$–$3$ คู่ก่อน ถ้าได้เท่ากันทุกคู่แสดงว่ากติกาคือบวกทีละเท่านั้น ถ้าผลต่างไม่เท่ากันให้ลองหารพจน์หลังด้วยพจน์หน้า แล้วตรวจกับคู่อื่นอีกครั้ง
• ถ้าผลต่างไม่เท่ากันและผลหารก็ไม่เท่ากัน ให้ลองดู «ผลต่างที่เพิ่มขึ้นทีละเท่าเดิม» หรือแยกเป็นชุดตำแหน่งคี่กับตำแหน่งคู่

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ลำดับที่บวกทีละเท่าเดิม $3, 7, 11, 15, \ldots$ พจน์ถัดไปคือจำนวนใด
  1. หาผลต่างของพจน์ที่ติดกัน: $7 - 3 = 4$ · $11 - 7 = 4$ · $15 - 11 = 4$ → ได้เท่ากันทุกคู่
  2. แปลว่ากติกาคือบวกเพิ่มทีละ $4$
  3. พจน์ถัดไป $= 15 + 4 = 19$
  4. ตรวจย้อนกลับ: $19 - 4 = 15$ ตรงกับพจน์ก่อนหน้า → คำตอบคือ $19$
• ลำดับที่คูณทีละเท่าเดิม $2, 6, 18, 54, \ldots$ พจน์ถัดไปคือจำนวนใด
  1. ลองลบก่อน: $6 - 2 = 4$ แต่ $18 - 6 = 12$ → ผลต่างไม่เท่ากัน จึงไม่ใช่การบวกทีละเท่าเดิม
  2. ลองหาร: $6 \div 2 = 3$ · $18 \div 6 = 3$ · $54 \div 18 = 3$ → ได้เท่ากันทุกคู่
  3. กติกาคือคูณด้วย $3$ → พจน์ถัดไป $= 54 \times 3 = 162$
• ชุดจำนวนกำลังสอง $1, 4, 9, 16, \ldots$ พจน์ที่ $5$ คือจำนวนใด — สังเกตว่าพจน์ที่ $n$ มาจาก $n \times n$: $1 = 1 \times 1$, $4 = 2 \times 2$, $9 = 3 \times 3$, $16 = 4 \times 4$ → พจน์ที่ $5$ คือ $5 \times 5 = 25$

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["ลำดับ 3, 7, 11, 15, …"] --> B["หาผลต่างของพจน์ที่ติดกัน<br/>7 − 3 = 4 · 11 − 7 = 4 · 15 − 11 = 4"]
    B --> C["ผลต่างเท่ากันทุกคู่<br/>จึงได้กติกา: บวกเพิ่มทีละ 4"]
    C --> D["พจน์ถัดไป = 15 + 4 = 19"]
    D --> E["ตรวจย้อนกลับ<br/>19 − 4 = 15 ตรงกับพจน์เดิม"]
    C --> F["ถ้าผลต่างไม่เท่ากันให้ลองหาร<br/>หรือแยกชุดตำแหน่งคี่–คู่"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังวิธีคิดหาแบบรูปของลำดับจำนวน เริ่มจากนำพจน์ที่ติดกันมาลบกัน ถ้าผลต่างเท่ากันทุกคู่ก็ได้กติกาว่าบวกเพิ่มทีละ 4 แล้วเติมพจน์ถัดไปเป็น 19 พร้อมตรวจย้อนกลับ ถ้าผลต่างไม่เท่ากันให้ลองหารพจน์หลังด้วยพจน์หน้าหรือแยกดูชุดตำแหน่งคี่กับตำแหน่งคู่แทน

องค์ความรู้

• แบบรูปรูปภาพใช้หลักเดียวกับแบบรูปจำนวน — นับชิ้นส่วนของรูปที่ 1, 2, 3 แล้วดูว่าเพิ่มขึ้นทีละเท่าไร เช่น รูปที่ 1 ใช้ไม้ $4$ ก้าน รูปที่ 2 ใช้ $7$ ก้าน รูปที่ 3 ใช้ $10$ ก้าน แสดงว่าเพิ่มทีละ $3$ ก้าน
• สิ่งที่นับได้ในแบบรูปรูปภาพมีหลายอย่าง — จำนวนไม้ จำนวนด้าน จำนวนจุดยอด จำนวนช่องสี่เหลี่ยม หรือจำนวนรูปย่อยที่ซ้อนอยู่ ต้องอ่านโจทย์ให้ชัดว่าถามนับอะไร
• ระวังการนับด้านที่ใช้ร่วมกัน — รูปที่ต่อกันจะใช้ด้านประชิดร่วมกัน $1$ ด้าน ทำให้ไม้ที่เพิ่มในแต่ละรูปน้อยกว่าจำนวนด้านของรูปนั้นเสมอ
• ถ้าจำนวนที่นับได้เป็น $1, 4, 9, 16, \ldots$ แปลว่าเป็นจำนวนกำลังสอง (แต่ละขั้นเพิ่มขึ้นทีละ $3, 5, 7, \ldots$) — ต่างจากแบบที่เพิ่มทีละเท่าเดิมตลอด
• จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่ต่อกันเป็นชั้น ๆ ให้ผล $1, 3, 6, 10, \ldots$ โดยผลต่างเพิ่มขึ้นทีละ $1$ ($+2, +3, +4$)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• แบบรูปไม้ขีดที่เพิ่มทีละเท่าเดิม รูปที่ 1 ใช้ไม้ $4$ ก้าน รูปที่ 2 ใช้ $7$ ก้าน รูปที่ 3 ใช้ $10$ ก้าน ถ้าต่อแบบเดิม รูปที่ $5$ จะใช้ไม้กี่ก้าน
  1. หาผลต่าง: $7 - 4 = 3$ · $10 - 7 = 3$ → เพิ่มขึ้นทีละ $3$ ก้าน
  2. รูปที่ $4$ ใช้ไม้ $10 + 3 = 13$ ก้าน
  3. รูปที่ $5$ ใช้ไม้ $13 + 3 = 16$ ก้าน
  4. จุดที่ต้องระวัง: โจทย์ถามรูปที่ $5$ ต้องก้าวต่อจากรูปที่ $3$ สองครั้ง ($3 \to 4 \to 5$) ไม่ใช่ครั้งเดียว
• แบบรูปที่ด้านประชิดใช้ร่วมกัน นำรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามาต่อกันเป็นแถว — $1$ รูปใช้ไม้ $3$ ก้าน · $2$ รูปใช้ไม้ $5$ ก้าน · $3$ รูปใช้ไม้ $7$ ก้าน ถ้าต่อ $5$ รูปต้องใช้ไม้กี่ก้าน
  1. ผลต่างคือ $5 - 3 = 2$ และ $7 - 5 = 2$ → เพิ่มรูปละ $2$ ก้าน (ไม่ใช่ $3$ ก้าน เพราะด้านที่ติดกันใช้ไม้ร่วมกัน)
  2. รูปที่ $4$ ใช้ $7 + 2 = 9$ ก้าน · รูปที่ $5$ ใช้ $9 + 2 = 11$ ก้าน
• แบบรูปจำนวนกำลังสอง เรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กให้เป็นรูปใหญ่ — รูปที่ $1$ มี $1$ ช่อง · รูปที่ $2$ มี $4$ ช่อง · รูปที่ $3$ มี $9$ ช่อง → ผลต่างคือ $3, 5$ (เพิ่มขึ้นทีละ $2$) ดังนั้นรูปที่ $4$ มี $9 + 7 = 16$ ช่อง
• แบบรูปที่ผลต่างเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง เรียงรูปสามเหลี่ยมเพิ่มชั้น — $1, 3, 6, 10, \ldots$ → ผลต่าง $2, 3, 4$ → รูปถัดไปคือ $10 + 5 = 15$

ภาพและไดอะแกรม

flowchart LR
    R1["รูปที่ 1<br/>ไม้ 4 ก้าน"] -->|"บวก 3"| R2["รูปที่ 2<br/>ไม้ 7 ก้าน"]
    R2 -->|"บวก 3"| R3["รูปที่ 3<br/>ไม้ 10 ก้าน"]
    R3 -->|"บวก 3"| R4["รูปที่ 4<br/>ไม้ 13 ก้าน"]
    R4 -->|"บวก 3"| R5["รูปที่ 5<br/>ไม้ 16 ก้าน"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังแบบรูปรูปภาพไม้ขีด เรียงจากรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 5 โดยรูปที่ 1 ใช้ไม้ 4 ก้าน และแต่ละรูปถัดไปใช้ไม้เพิ่มขึ้นอีก 3 ก้านเสมอ จึงได้ 7, 10, 13 และ 16 ก้านตามลำดับ ซึ่งแสดงว่าการหาคำตอบของแบบรูปรูปภาพใช้หลักเดียวกับการหาพจน์ถัดไปของลำดับจำนวน

องค์ความรู้

• ความสัมพันธ์ของสองปริมาณ คือการเชื่อมข้อมูลสองชุดเข้าด้วยกัน มักเขียนเป็นตาราง แล้วหาว่า «ค่าชุดหลังได้มาจากค่าชุดแรกอย่างไร»
• กฎของแบบรูปต้องเขียนให้สั้นและใช้ได้จริง เช่น «ราคา $=$ จำนวนสมุด $\times 12$» หรือ «ค่าผ่านประตู $= 40 + 15 \times$ จำนวนครั้ง»
• กฎมีสองหน้าตาที่พบบ่อย — คูณอย่างเดียว (ราคาต่อหน่วยคงที่) และ ค่าคงที่บวกกับส่วนที่เพิ่มตามจำนวน (มีค่าบริการเริ่มต้น)
• ต้องตรวจกฎกับข้อมูล ทุกคู่ ที่โจทย์ให้ ถ้าใช้ได้แค่คู่เดียวแต่คู่อื่นไม่ตรง แปลว่ากฎผิด
• พอได้กฎแล้วจะหาค่าในอนาคตได้ทันที และยังย้อนหาก็ได้ — ถามจำนวนจากราคา ให้แก้จากกฎเดิม

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ตารางที่คูณด้วยจำนวนเดียวกัน สมุด $1$ เล่มราคา $12$ บาท → $2$ เล่มราคา $24$ บาท → $3$ เล่มราคา $36$ บาท กฎคือ ราคา $=$ จำนวนสมุด $\times 12$ · ตรวจ: $4$ เล่มจะได้ $4 \times 12 = 48$ บาท ตรงกับที่โจทย์ให้มา
• ใช้กฎหาค่าที่โจทย์ถาม จากตารางเดิม ถ้าถามราคาสมุด $10$ เล่ม → $10 \times 12 = 120$ บาท · ถ้าย้อนถามว่ามี $96$ บาท ซื้อได้กี่เล่ม → $96 \div 12 = 8$ เล่ม
• ตารางที่มีค่าคงที่บวกอยู่ ค่าเข้าสวนผู้ใหญ่ $40$ บาท และเครื่องเล่นครั้งละ $15$ บาท → เล่น $1$ ครั้งจ่าย $55$ บาท · $2$ ครั้งจ่าย $70$ บาท · $3$ ครั้งจ่าย $85$ บาท กฎคือ จ่าย $= 40 + 15 \times$ จำนวนครั้ง · ตรวจ: $4$ ครั้งจะได้ $40 + 60 = 100$ บาท

ภาพและไดอะแกรม

จำนวนสมุด (เล่ม)	$1$	$2$	$3$	$4$
ราคา (บาท)	$12$	$24$	$36$	$48$

คำบรรยายภาพ: ตารางความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสมุดกับราคา เมื่อสมุด 1 เล่มราคา 12 บาท จำนวนที่เพิ่มขึ้นทีละหนึ่งเล่มทำให้ราคาเพิ่มขึ้นทีละ 12 บาทเสมอ จึงได้กฎว่าราคาเท่ากับจำนวนสมุดคูณ 12 และใช้กฎนี้ทำนายราคาของจำนวนสมุดอื่นได้ทันที

องค์ความรู้

• ช่องว่างหรือรูปทรงที่โจทย์ใช้แทนจำนวนที่ยังไม่รู้ ไม่ใช่ชื่อรูป แต่คือจำนวนที่ต้องเติม เช่น $\square + 7 = 15$ → หาได้ด้วยการย้อนการดำเนินการ $15 - 7 = 8$
• วิธีหาค่าที่หายไปในลำดับ: หาผลต่างจากคู่ที่รู้ทั้งสองข้างก่อน แล้วค่อยเติมช่องว่าง ตรวจทั้งสองข้าง ว่าตรงกับกติกาเดิม
• ถ้าช่องว่างอยู่ตรงกลาง ให้ใช้คู่ซ้ายและคู่ขวาช่วยกัน · ถ้าช่องว่างอยู่ท้ายสุด ให้ก้าวต่อจากพจน์สุดท้ายตามกติกา
• นับ จำนวนก้าว ให้ถูก — จากพจน์ที่ $3$ ไปพจน์ที่ $5$ คือ $2$ ก้าว ไม่ใช่ $5$ ก้าว
• ในตารางความสัมพันธ์ ให้หากฎให้ได้ก่อนแล้วจึงแทนค่าที่หายไป เพราะการเดาค่าเดียวอาจบังเอิญถูกแต่ใช้กับค่าอื่นไม่ได้

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ช่องว่างอยู่ตรงกลาง $5, 9, 13, \square, 21$ — ผลต่างคือ $4$ ทุกคู่ → $\square = 13 + 4 = 17$ · ตรวจสองข้าง: $17 + 4 = 21$ ตรงกับพจน์ถัดไป และ $17 - 4 = 13$ ตรงกับพจน์ก่อนหน้า
• แบบรูปที่คูณทีละเท่าเดิม $2, 6, 18, \square, 162$ — คูณด้วย $3$ ทุกขั้น → $\square = 18 \times 3 = 54$ · ตรวจ: $54 \times 3 = 162$ ตรงกับพจน์สุดท้าย
• ช่องว่างในตารางความสัมพันธ์ จำนวน $3$ ชิ้นราคา $27$ บาท และราคาต่อชิ้นคงที่ → ราคาต่อชิ้น $= 27 \div 3 = 9$ บาท · ถ้าราคาที่โจทย์ให้เป็น $45$ บาท จะได้จำนวน $= 45 \div 9 = 5$ ชิ้น
• แบบรูปที่ใช้สองพจน์ก่อนหน้า $1, 1, 2, 3, 5, 8, \square$ — สังเกตว่าแต่ละพจน์เท่ากับผลบวกของสองพจน์ก่อนหน้า ($1+1=2$ · $2+3=5$ · $5+8=13$) → $\square = 13$ · ตรวจ: $8 + 13 = 21$ ซึ่งจะเป็นพจน์ถัดไปพอดี

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["เห็นช่องว่างในแบบรูปหรือตาราง"] --> B{"ช่องว่างอยู่ตำแหน่งใด"}
    B -->|"อยู่ตรงกลาง"| C["หาผลต่างจากคู่ที่รู้ทั้งสองข้าง<br/>แล้วเติมค่าที่ทำให้ผลต่างเท่ากัน"]
    B -->|"อยู่ท้ายสุด"| D["ก้าวต่อจากพจน์สุดท้ายตามกติกา"]
    B -->|"อยู่ในตารางความสัมพันธ์"| E["หากฎจากคู่ที่รู้ก่อน<br/>แล้วแทนค่าที่หายไป"]
    C --> F["ตรวจทั้งสองข้าง<br/>ว่าตรงกับกติกาเดิม"]
    D --> F
    E --> F

คำบรรยายภาพ: แผนผังวิธีหาค่าที่หายไปในแบบรูป แยกตามตำแหน่งของช่องว่าง ถ้าอยู่ตรงกลางให้ใช้ผลต่างจากคู่ที่รู้ทั้งสองข้าง ถ้าอยู่ท้ายสุดให้ก้าวต่อจากพจน์สุดท้าย และถ้าอยู่ในตารางความสัมพันธ์ให้หากฎจากคู่ที่รู้ก่อนแล้วแทนค่า ทุกทางต้องตรวจคำตอบทั้งสองข้างว่าตรงกับกติกาเดิมเสมอ