มุมและเส้นขนาน

องค์ความรู้

• มุม เกิดจาก รังสี 2 เส้นที่มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน จุดนั้นเรียกว่า จุดยอด ของมุม และวัดขนาดเป็น องศา เขียนสัญลักษณ์เป็น $^\circ$
• มุมแหลม — เล็กกว่า $90^\circ$ · มุมฉาก — เท่ากับ $90^\circ$ พอดี · มุมป้าน — อยู่ระหว่าง $90^\circ$ กับ $180^\circ$
• มุมตรง — เท่ากับ $180^\circ$ พอดี (ด้านทั้งสองกลายเป็นเส้นตรงเดียวกัน) · มุมกลับ — อยู่ระหว่าง $180^\circ$ กับ $360^\circ$
• มุมฉากมี สัญลักษณ์รูปสี่เหลี่ยมเล็กที่จุดยอด กำกับไว้ในภาพ เพื่อไม่ต้องวัดซ้ำ
• มุมที่ต่างกันด้วย «พ้นหรือไม่พ้น $90$ กับ $180$» ต้องเทียบให้ถูก — $180^\circ$ เป็นมุมตรงไม่ใช่ป้าน และ $90^\circ$ เป็นมุมฉากไม่ใช่แหลม
• การหมุนครบ $360^\circ$ คือการหมุนกลับมาที่ตำแหน่งเดิม (ในภาพมักเขียนให้เห็นรอบจุดรวมกันเป็น $360^\circ$)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• บอกชนิดจากขนาด — $35^\circ$ มุมแหลม · $90^\circ$ มุมฉาก · $120^\circ$ มุมป้าน · $180^\circ$ มุมตรง · $270^\circ$ มุมกลับ
• ดูจากภาพแล้วประเมิน — เปิดหนังสือค้างไว้เล็กน้อยได้มุมแหลม เปิดตั้งฉากกับแนวบรรทัดได้มุมฉาก เปิดกว้างกว่าฉากเล็กน้อยแต่ไม่ถึงแนวระนาบได้มุมป้าน
• เทียบโดยไม่ต้องวัด — ถ้าใช้สันของสมุดวางเทียบแล้วด้านหนึ่งของมุมทับกับขอบสมุดพอดี แสดงว่าเป็นมุมฉาก ถ้าเปิดกว้างกว่านั้นเป็นมุมป้าน

ภาพและไดอะแกรม

ชนิดของมุม	ช่วงขนาด
มุมแหลม	มากกว่า $0^\circ$ แต่น้อยกว่า $90^\circ$
มุมฉาก	$= 90^\circ$
มุมป้าน	มากกว่า $90^\circ$ แต่น้อยกว่า $180^\circ$
มุมตรง	$= 180^\circ$
มุมกลับ	มากกว่า $180^\circ$ แต่น้อยกว่า $360^\circ$

คำบรรยายภาพ: ตารางเทียบชนิดของมุมกับช่วงขนาดเป็นองศา มุมแหลมเล็กกว่า 90 องศา มุมฉากเท่ากับ 90 องศาพอดี มุมป้านอยู่ระหว่าง 90 กับ 180 องศา มุมตรงเท่ากับ 180 องศาพอดี และมุมกลับอยู่ระหว่าง 180 กับ 360 องศา จึงต้องเทียบขอบเขตให้ดีว่าถึงค่าพอดีจะเปลี่ยนชื่อเรียก

องค์ความรู้

• เครื่องมือวัดมุมคือ ไม้โปรแทรกเตอร์ (เขียนเต็มคำ ไม่ตัด «ไม้») มีสเกลไล่จาก $0$ ถึง $180$ องศา ครึ่งวงกลม
• ไม้โปรแทรกเตอร์มี สเกลสองชุด ไล่เลขสวนทางกัน (ชุดหนึ่งเริ่ม $0$ ทางซ้าย อีกชุดเริ่ม $0$ ทางขวา) ต้องเลือกใช้ชุดที่เริ่ม $0$ ตรงกับด้านที่วางทับ
• ขั้นตอนวัดมุม: วาง จุดกึ่งกลางของไม้โปรแทรกเตอร์ทับจุดยอดของมุม → หมุนให้ เส้นศูนย์ทับด้านหนึ่งของมุมพอดี → อ่านเลขที่ ด้านที่สองของมุมตัดผ่านสเกล
• อ่านแล้วต้อง ตรวจด้วยสายตา ว่าเข้าพวกไหม — ได้เลขมากกว่า $90$ แต่ภาพดูเป็นมุมแหลม แปลว่าอ่านผิดชุด (ค่าที่อ่านผิดบวกกับค่าจริงได้ $180^\circ$ เสมอ)
• สร้างมุม ให้ลากด้านแรกก่อน วางไม้โปรแทรกเตอร์ให้ถูกตำแหน่ง ทำจุดที่ขนาดมุมที่ต้องการ แล้วลากเส้นจากจุดยอดผ่านจุดนั้น
• ความรู้ที่ใช้คู่กัน: มุมบนเส้นตรงที่จุดเดียวกันรวมกันได้ $180^\circ$ และมุมรอบจุดหนึ่งรวมกันได้ $360^\circ$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• วัดมุมแหลม — วางไม้โปรแทรกเตอร์ให้จุดศูนย์กลางทับจุดยอด ด้านหนึ่งทับเส้นศูนย์ อีกด้านตัดที่เลข $52$ → มุมนี้มีขนาด $52^\circ$ (เป็นมุมแหลม ตรงกับที่เห็นในภาพ)
• จับการอ่านผิดชุด — ถ้าอ่านได้ $128$ แต่ภาพเป็นมุมแหลม ให้ลองคิด $180 - 128 = 52$ → แปลว่าไปอ่านเลขของสเกลอีกชุด ขนาดจริงคือ $52^\circ$
• สร้างมุม $60^\circ$ — ลากด้านแรกเป็นเส้นตรง วางไม้โปรแทรกเตอร์ที่จุดยอด ทำจุดเล็ก ๆ ที่เลข $60$ แล้วลากเส้นจากจุดยอดผ่านจุดนั้น จะได้มุม $60^\circ$ · ตรวจด้วยการวัดซ้ำอีกครั้ง
• มุมบนเส้นตรง — ถ้าบนเส้นตรงเส้นหนึ่งมีมุม $110^\circ$ แล้วมีมุมอีกมุมอยู่ติดกัน มุมที่เหลือคือ $180 - 110 = 70^\circ$

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["วางจุดกึ่งกลางของไม้โปรแทรกเตอร์ทับจุดยอดของมุม"] --> B["หมุนให้เส้นศูนย์ทับด้านหนึ่งของมุมพอดี"]
    B --> C["อ่านเลขที่ด้านที่สองของมุมตัดผ่านสเกล"]
    C --> D{"ค่าที่อ่านกับลักษณะมุมในภาพตรงกันหรือไม่"}
    D -->|"ตรงกัน"| E["ใช้ค่านั้นเป็นขนาดของมุม"]
    D -->|"ไม่ตรง เช่น ภาพเป็นมุมแหลมแต่ได้ 128"| F["ไปอ่านเลขของสเกลอีกชุด<br/>180 − 128 = 52"]
    F --> E

คำบรรยายภาพ: แผนผังขั้นตอนวัดมุมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ เริ่มจากวางจุดกึ่งกลางให้ทับจุดยอดของมุม หมุนให้เส้นศูนย์ทับด้านหนึ่งของมุม แล้วอ่านเลขที่ด้านที่สองตัดผ่านสเกล จากนั้นตรวจว่าค่าที่อ่านได้ตรงกับลักษณะมุมที่เห็นในภาพ ถ้าไม่ตรงแสดงว่าไปอ่านเลขสเกลอีกชุด ให้หาค่าจาก 180 ลบด้วยค่าที่อ่านได้

องค์ความรู้

• มุมสองมุมที่รวมกันได้ $90^\circ$ — เป็นมุมแหลมทั้งคู่ ขนาดของแต่ละมุมหาได้จาก $90$ ลบด้วยอีกมุม
• มุมสองมุมที่รวมกันได้ $180^\circ$ — แต่ละมุมหาได้จาก $180$ ลบด้วยอีกมุม และเมื่ออยู่บนเส้นตรงเดียวกันจะรวมกันเป็นเส้นตรงพอดี
• มุมประชิด คือมุมที่ มีจุดยอดเดียวกันและมีด้านร่วมกันหนึ่งด้าน อยู่คนละข้างของด้านร่วมนั้น — มุมประชิดที่รวมกันเป็นเส้นตรงจะมีขนาดรวม $180^\circ$
• มุมตรงข้าม เกิดจาก เส้นตรงสองเส้นตัดกัน เป็นมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน ไม่มีด้านร่วม มีขนาด เท่ากันเสมอ
• เส้นตรงสองเส้นตัดกันเกิดมุม $4$ มุม — มุมตรงข้ามเท่ากันเป็นคู่ และมุมประชิดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันรวมกันได้ $180^\circ$ ผลรวมทั้งสี่มุมเป็น $360^\circ$
• ระวังคำว่า «มุมตรง» (ขนาด $180^\circ$) กับ «มุมตรงข้าม» (ตำแหน่งของมุมที่เกิดจากเส้นสองเส้นตัดกัน) — คนละเรื่องกันเลย

ตัวอย่างและวิธีคิด

• มุมรวมกันได้ $90^\circ$ — มุมหนึ่งมีขนาด $35^\circ$ อีกมุมหนึ่งคือ $90 - 35 = 55^\circ$
• มุมรวมกันได้ $180^\circ$ — มุมหนึ่งมีขนาด $125^\circ$ อีกมุมหนึ่งคือ $180 - 125 = 55^\circ$
• มุมตรงข้ามของเส้นตัดกัน — เส้นตรงสองเส้นตัดกัน เกิดมุมหนึ่งขนาด $70^\circ$ → มุมตรงข้ามกับมันมีขนาด $70^\circ$ · อีกสองมุมที่เหลืออยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับมุม $70^\circ$ จึงมีขนาด $180 - 70 = 110^\circ$ (ตรวจรวม: $70 + 110 + 70 + 110 = 360$ ถูกต้อง)
• โจทย์ที่ให้อัตราส่วนของมุม — มุมสองมุมรวมกันได้ $90^\circ$ และมุมหนึ่งเป็น $2$ เท่าของอีกมุม ให้มุมเล็กเป็น $x$ → $x + 2x = 90$ → $3x = 90$ → $x = 30$ ดังนั้นได้มุม $30^\circ$ กับ $60^\circ$ · ตรวจ: $30 + 60 = 90$ ถูกต้อง

ภาพและไดอะแกรม

สิ่งที่โจทย์ให้	ความสัมพันธ์ที่ใช้	วิธีหาคำตอบ
มุมสองมุมรวมกันได้ $90^\circ$	$a + b = 90$	$a = 90 - b$
มุมสองมุมรวมกันได้ $180^\circ$	$a + b = 180$	$a = 180 - b$
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน	มุมตรงข้ามเท่ากัน · มุมประชิดรวม $180^\circ$	หาคู่เท่ากันก่อน แล้วหาอีกสองมุมด้วย $180$ ลบ

คำบรรยายภาพ: ตารางสรุปความสัมพันธ์ของมุมที่ใช้บ่อย ถ้ามุมสองมุมรวมกันได้ 90 องศาให้หาอีกมุมด้วยการลบจาก 90 ถ้ารวมกันได้ 180 องศาให้ลบจาก 180 และถ้าเป็นเส้นตรงสองเส้นตัดกันให้ใช้ข้อเท็จจริงว่ามุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน ส่วนมุมที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันรวมกันได้ 180 องศา

องค์ความรู้

• เส้นขนาน คือเส้นตรงสองเส้น อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันเลย ต่อออกไปไกลเท่าไรก็ไม่บรรจบ ระยะห่างระหว่างเส้นทั้งสองคงที่เสมอ เขียนสัญลักษณ์ขนานเป็น $\parallel$
• เส้นตัดขวาง คือเส้นตรงที่ลากตัดเส้นขนานสองเส้นนั้น เกิด จุดตัด 2 จุด จุดละ 4 มุม รวมเป็น $8$ มุม
• ที่จุดตัดแต่ละจุด มุมที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันรวมกันได้ $180^\circ$ และมุมรอบจุดรวมกันได้ $360^\circ$
• ชื่อคู่มุมตาม ตำแหน่ง ที่ต้องแยกให้ออก
  • มุมภายใน อยู่ระหว่างเส้นขนานคู่ · มุมภายนอก อยู่นอกเส้นขนานคู่
  • มุมสมนัย อยู่ ข้างเดียวกัน ของเส้นตัดขวาง และอยู่ตำแหน่งเดียวกันที่จุดตัดคนละจุด (เช่น มุมบนซ้ายทั้งสองจุด)
  • มุมแย้ง อยู่ คนละข้าง ของเส้นตัดขวาง — ถ้าอยู่ระหว่างเส้นขนานคู่เรียกว่า มุมแย้งภายใน ถ้าอยู่นอกเส้นขนานคู่เรียกว่า มุมแย้งภายนอก (ทั้งสองแบบมีขนาดเท่ากัน)
  • มุมภายในด้านเดียวกัน อยู่ระหว่างเส้นขนานคู่และอยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัดขวาง
• สังเกตของจริงได้จากรางรถไฟ ราวบันได เส้นบนกระดาษตาราง — สิ่งที่ดูขนานกันแต่ระยะห่างไม่คงที่ (เช่น เส้นที่ค่อย ๆ บรรจบกัน) ไม่ใช่เส้นขนาน

ตัวอย่างและวิธีคิด

• นับมุมในรูป — เส้นขนานสองเส้นมีเส้นตัดขวางหนึ่งเส้น → จุดตัด $2$ จุด จุดละ $4$ มุม → รวม $8$ มุม โดยแต่ละจุดมีมุม $4$ มุมที่รวมกันได้ $360^\circ$
• ระบุคู่มุมจากตำแหน่ง — ที่จุดตัดบน มุมบนซ้ายกับมุมบนซ้ายของจุดตัดล่างเป็น มุมสมนัย · มุมบนซ้ายของจุดตัดบนกับมุมล่างขวาของจุดตัดล่างเป็น มุมแย้ง · มุมบนซ้ายของจุดตัดบนกับมุมล่างซ้ายของจุดตัดล่าง (ข้างเดียวกัน) เป็น มุมภายในด้านเดียวกัน
• ตรวจว่าขนานจริงหรือไม่ — ถ้าระยะห่างระหว่างเส้นทั้งสองที่วัดสองตำแหน่งเท่ากัน (เช่น $3$ ซม. ทั้งสองที่) แสดงว่าเส้นขนานกัน แต่ถ้าวัดแล้วระยะห่างไม่เท่า เส้นคู่นั้นจะค่อย ๆ บรรจบกันไม่ใช่เส้นขนาน

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["เส้นตัดขวางลากผ่านเส้นตรงสองเส้น"] --> B{"เส้นตรงสองเส้นนั้นขนานกันหรือไม่"}
    B -->|"ขนาน (มีเครื่องหมาย // หรือระยะห่างคงที่)"| C["เกิดมุม 8 มุม<br/>จุดตัดละ 4 มุม"]
    C --> D["มุมประชิดบนเส้นตรงเดียวกันรวม 180 องศา"]
    C --> E["มุมตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากัน"]
    B -->|"ไม่ขนาน"| F["ใช้ได้แค่เรื่องมุมประชิดและมุมตรงข้าม<br/>มุมแย้งและมุมสมนัยไม่เท่ากันแล้ว"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังการอ่านมุมที่เกิดจากเส้นตัดขวาง เริ่มจากตรวจว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกันหรือไม่ ถ้าขนานจะเกิดมุม 8 มุม และใช้ความสัมพันธ์ของมุมประชิดกับมุมตรงข้ามได้ตามปกติ แต่ถ้าไม่ขนานจะใช้ได้เพียงเรื่องมุมประชิดและมุมตรงข้าม ส่วนมุมแย้งกับมุมสมนัยจะไม่เท่ากันอีกต่อไป

องค์ความรู้

• เมื่อเส้นตรงสองเส้น ขนานกัน และมีเส้นตัดขวาง จะได้ความสัมพันธ์ที่ใช้หาคำตอบได้ทันที
  • มุมสมนัย มีขนาด เท่ากัน
  • มุมแย้ง (แย้งภายในและแย้งภายนอก) มีขนาด เท่ากัน
  • มุมภายในด้านเดียวกันของเส้นตัดขวาง ไม่เท่ากัน แต่ รวมกันได้ $180^\circ$
• มุมตรงข้ามที่จุดตัดเดียวกันก็เท่ากัน และมุมประชิดบนเส้นตรงเดียวกันรวมกันได้ $180^\circ$ — ใช้เป็นสะพานเชื่อมไปยังมุมที่เหลือได้
• วิธีคิดที่ชัวร์ที่สุดคือ หามุมที่เท่ากับมุมที่โจทย์ให้ก่อน แล้วใช้ $180^\circ$ หามุมที่อยู่ข้าง ๆ · ทำซ้ำทีละจุดตัดจนครบทุกมุมที่ถาม
• ถ้าโจทย์ให้ความสัมพันธ์ของมุมมาเป็นถ้อยคำ (เช่น «มุมนี้เป็นสองเท่าของอีกมุม แล้วบวกอีก $10$ องศา») ให้เริ่มจากมุมที่รู้ค่าจริงก่อน แล้ว ย้อนคิดทีละขั้น กลับไปหามุมที่ถาม
• ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกว่าเส้นขนานกัน ห้ามใช้ กฎ «มุมแย้งเท่ากัน · มุมสมนัยเท่ากัน» เด็ดขาด

ตัวอย่างและวิธีคิด

• หามุมต่าง ๆ จากมุมเดียว — เส้นขนาน $\parallel$ มีเส้นตัดขวาง และมุมหนึ่งมีขนาด $65^\circ$ → มุมสมนัยกับมุมนี้มีขนาด $65^\circ$ · มุมแย้งกับมุมนี้มีขนาด $65^\circ$ · มุมภายในด้านเดียวกันรวมกับมุมนี้ได้ $180^\circ$ จึงมีขนาด $180 - 65 = 115^\circ$ · ตรวจ: ที่จุดตัดหนึ่ง มุมรอบจุดรวมกันเป็น $65 + 115 + 65 + 115 = 360$ ถูกต้อง
• โจทย์ย้อนกลับ — มุมสมนัยกับมุม $70^\circ$ โจทย์บอกเพิ่มว่ามุมนั้น «คูณสองแล้วบวกอีก $10$ องศา» จึงย้อนกลับ: $70 - 10 = 60$ → $60 \div 2 = 30$ · ตรวจ: $2 \times 30 + 10 = 70$ ✓
• ใช้มุมแย้งกับการย้อนกลับ — มุมแย้งภายในกับมุม $120^\circ$ โจทย์บอกเพิ่มว่ามุมนั้น «ใหญ่เป็นสามเท่า» จึงย้อนกลับ: $120 \div 3 = 40$ · ตรวจ: $3 \times 40 = 120$ ✓
• โจทย์ที่ต้องใช้สองความสัมพันธ์ต่อกัน — มุมหนึ่งขนาด $70^\circ$ มุมภายในด้านเดียวกันของมันมีขนาด $110^\circ$ และมุมแย้งของมุม $110^\circ$ ก็มีขนาด $110^\circ$ ด้วย → เห็นได้ว่าเมื่อรู้มุมเดียวจะได้ทั้งชุด $70^\circ$ และ $110^\circ$ สลับกันไป

ภาพและไดอะแกรม

ความสัมพันธ์ของคู่มุม	ขนาดของอีกมุม (เมื่อมุมหนึ่งเป็น $65^\circ$)
มุมสมนัย	$65^\circ$ (เท่ากัน)
มุมแย้ง	$65^\circ$ (เท่ากัน)
มุมตรงข้ามที่จุดตัดเดียวกัน	$65^\circ$ (เท่ากัน)
มุมภายในด้านเดียวกัน	$180 - 65 = 115^\circ$ (รวมกันได้ $180^\circ$)
มุมประชิดบนเส้นตรงเดียวกัน	$180 - 65 = 115^\circ$ (รวมกันได้ $180^\circ$)

คำบรรยายภาพ: ตารางสรุปว่าคู่มุมแบบใดเท่ากันและแบบใดรวมกันได้ 180 องศา เมื่อมุมหนึ่งมีขนาด 65 องศา มุมสมนัย มุมแย้ง และมุมตรงข้ามที่จุดตัดเดียวกันมีขนาด 65 องศาเท่ากัน ส่วนมุมภายในด้านเดียวกันและมุมประชิดบนเส้นตรงเดียวกันมีขนาด 115 องศา เพราะรวมกับ 65 องศาแล้วได้ 180 องศาพอดี