ทศนิยม

องค์ความรู้

• ทศนิยม เป็นวิธีเขียนจำนวนที่ไม่ถึงหนึ่งโดยใช้ จุดทศนิยม คั่น — ส่วนหน้าจุดเป็นจำนวนเต็ม ส่วนหลังจุดคือส่วนที่ไม่ถึง 1
• หลักหลังจุดทศนิยมไล่จากซ้ายไปขวาคือ ส่วนสิบ · ส่วนร้อย · ส่วนพัน โดยค่าลดลงทีละ 10 เท่า
• เขียนในรูปกระจายได้ เช่น $3.45 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{5}{100}$ และ $0.7 = \frac{7}{10}$
• อ่านทศนิยมให้อ่านส่วนหน้าจุดเป็นจำนวนเต็ม แล้วอ่านเลขหลังจุดทีละตัว เช่น $3.45$ อ่านว่า «สามจุดสี่ห้า» ไม่ใช่ «สามจุดสี่สิบห้า»
• เติม 0 ต่อท้ายไม่เปลี่ยนค่า — $2.5 = 2.50 = 2.500$ แต่ $0.5$ กับ $0.05$ ไม่เท่ากัน เพราะอยู่คนละหลัก
• จำนวนเต็มก็เขียนเป็นทศนิยมได้ เช่น $7 = 7.0$ และ $0.0$ มีค่าเท่ากับ 0
• ทศนิยมกับเงินบาท: $12.50$ บาท คือ 12 บาท 50 สตางค์ จึงต้องใช้ทศนิยม 2 ตำแหน่งเมื่อคิดเรื่องเงิน

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ค่าของเลขโดด — ในจำนวน $5.62$ เลขโดด 6 อยู่หลักส่วนสิบ จึงมีค่า $\frac{6}{10} = 0.6$ ส่วนเลขโดด 2 อยู่หลักส่วนร้อย มีค่า $0.02$
• เขียนในรูปกระจาย — $12.708 = 10 + 2 + \frac{7}{10} + \frac{0}{100} + \frac{8}{1{,}000}$
• อ่านและเขียนเป็นเศษส่วน — $4.06$ อ่านว่า «สี่จุดศูนย์หก» และเท่ากับ $4 + \frac{6}{100} = 4\frac{6}{100} = \frac{406}{100}$
• ตรวจว่าค่าเท่ากันหรือไม่ — $0.30$ กับ $0.3$ เท่ากัน (เติม 0 ต่อท้าย) แต่ $1.05$ กับ $1.50$ ไม่เท่ากัน เพราะ 0 กับ 5 อยู่คนละหลัก

องค์ความรู้

• วิธีเปรียบเทียบที่ปลอดภัยที่สุดคือ เติม 0 ให้จำนวนตำแหน่งหลังจุดเท่ากันก่อน แล้วจึงเทียบทีละหลักจากซ้ายไปขวา
• เทียบ ส่วนหน้าจุดก่อน จำนวนที่มีส่วนหน้าจุดมากกว่ามากกว่าเสมอ ไม่ต้องดูเลขหลังจุด — เช่น $5.1 > 4.99$
• ถ้าส่วนหน้าจุดเท่ากันให้เทียบหลักส่วนสิบก่อน ถ้าเท่ากันจึงเทียบหลักส่วนร้อย แล้วไล่ต่อไป
• ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย คือดู «จำนวนหลักหลังจุด» แล้วคิดว่ามากกว่าคือมากกว่า — $0.45 > 0.405$ เพราะ $0.450 > 0.405$ ไม่ใช่เพราะมีหลักมากกว่า
• เรียงลำดับทศนิยม ใช้วิธีเดียวกับการเปรียบเทียบ แต่ทำพร้อมกันหลายจำนวน โดยเทียบจากส่วนหน้าจุด แล้วค่อยเทียบหลังจุดทีละหลักของทุกจำนวน
• เมื่อเทียบระหว่างทศนิยมกับเศษส่วน ให้แปลงให้เป็นรูปเดียวกันก่อน (แปลงทศนิยมเป็นเศษส่วน หรือแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม — ดูความสัมพันธ์ในหัวข้อ math-dec-06)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• $0.7$ กับ $0.07$ — เติมศูนย์ให้เท่ากันได้ $0.70$ กับ $0.07$ → หลักส่วนสิบ 7 มากกว่า 0 จึงได้ $0.7 > 0.07$
• $0.45$ กับ $0.405$ — เติมศูนย์เป็น $0.450$ กับ $0.405$ → เทียบหลักส่วนสิบเท่ากัน (4) เทียบหลักส่วนร้อย 5 มากกว่า 0 จึงได้ $0.45 > 0.405$
• เรียงจากน้อยไปมาก — $0.9$, $0.09$, $0.99$ → $0.09 < 0.90 < 0.99$ จึงเรียงเป็น $0.09$, $0.9$, $0.99$
• เทียบกับจำนวนเต็ม — $4.99 < 5.0$ แม้ $4.99$ จะมีเลขหลังจุดสองตัว เพราะเทียบที่ส่วนหน้าจุดก่อน (4 น้อยกว่า 5)

องค์ความรู้

• บวกและลบทศนิยม ต้อง จัดจุดทศนิยมให้ตรงกัน ก่อน แล้วจึงบวก-ลบเหมือนจำนวนเต็ม คำตอบมีจุดทศนิยมตรงตำแหน่งเดิม
• ถ้าจำนวนตำแหน่งหลังจุดไม่เท่ากัน ให้ เติม 0 ต่อท้าย ให้ครบก่อนตั้งบวก-ลบ จะจัดหลักง่ายและไม่พลาด
• คูณทศนิยมกับจำนวนเต็ม — คูณเหมือนจำนวนเต็ม แล้ววางจุดทศนิยมให้มีจำนวนตำแหน่งเท่ากับตัวตั้งเดิม
• คูณทศนิยมด้วยทศนิยม — คูณเหมือนจำนวนเต็มโดยไม่ต้องสนใจจุด แล้วนับจำนวนตำแหน่งทศนิยมของ ทั้งสองจำนวนรวมกัน นำมาวางจุดจากขวา
• คูณด้วย 10, 100, 1{,}000 ให้เลื่อนจุดทศนิยมไปทาง ขวา 1, 2, 3 ตำแหน่ง (ถ้าหลักไม่พอ เติม 0)
• ตรวจคำตอบด้วยการประมาณ: ผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่า 1 กับจำนวนบวกใด ๆ ต้องเล็กกว่าจำนวนนั้น เช่น $0.4 \times 20 = 8 < 20$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• $12.45 + 3.7$ — เติมศูนย์เป็น $12.45 + 3.70$ แล้วจัดจุดให้ตรงกัน ได้ $16.15$
• $20 - 4.75$ — เขียน 20 เป็น $20.00$ แล้วลบ ได้ $15.25$ · ตรวจด้วยการบวกกลับ $15.25 + 4.75 = 20.00$ ✓
• $2.5 \times 0.4$ — คูณจำนวนเต็ม $25 \times 4 = 100$ แล้วนับตำแหน่งทศนิยมรวม 1 + 1 = 2 ตำแหน่ง จึงได้ $1.00 = 1$
• $0.6 \times 0.3$ — $6 \times 3 = 18$ นับตำแหน่งทศนิยมรวม 2 ตำแหน่ง จึงได้ $0.18$
• $1.25 \times 100$ — เลื่อนจุดไปทางขวา 2 ตำแหน่ง ได้ $125$ (จำนวนเต็มเขียนเป็น $125.0$ ได้)

องค์ความรู้

• การหารทศนิยม ใช้ความหมายเดียวกับการหารจำนวนเต็ม คือ $\text{ตัวตั้ง} \div \text{ตัวหาร} = \text{ผลหาร}$ แต่ต้องจัดการจุดทศนิยมให้ถูก
• หัวใจของวิธีคิด — ทำตัวหารให้เป็นจำนวนเต็มก่อนแล้วจึงหาร
  • นับตำแหน่งทศนิยมของ ตัวหาร
  • เลื่อนจุดทศนิยมของตัวหารไปทาง ขวา เท่าจำนวนตำแหน่งที่พบบนตัวหาร
  • เลื่อนจุดทศนิยมของ ตัวตั้ง ไปทาง ขวาเท่ากัน (ถ้าหลักไม่พอ เติม 0 ต่อท้ายได้)
  • หารเหมือนจำนวนเต็ม แล้ววางจุดทศนิยมของผลหารให้อยู่ในตำแหน่งเดียวกับจุดของตัวตั้งที่เลื่อนแล้ว
• ตัวหารเป็นจำนวนเต็มอยู่แล้ว ไม่ต้องเลื่อนจุด — หารเหมือนจำนวนเต็มแล้ววางจุดในผลหาร เช่น $7.2 \div 4$: $72 \div 4 = 18$ จึงได้ $1.8$
• หารไม่ลงตัว เติม 0 ต่อท้ายตัวตั้งแล้วหารต่อได้ โดย ป.6 ให้ผลหารเป็นทศนิยมไม่เกิน 3 ตำแหน่ง
• หารด้วย 10, 100, 1{,}000 ไม่ต้องตั้งหาร — เลื่อนจุดไปทาง ซ้าย 1, 2, 3 ตำแหน่ง: $45.6 \div 10 = 4.56$ · $45.6 \div 100 = 0.456$
• ตรวจคำตอบเสมอ ด้วยการคูณกลับ: $\text{ตัวหาร} \times \text{ผลหาร} = \text{ตัวตั้ง}$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• $0.5 \div 0.25$ — ตัวหาร $0.25$ มีทศนิยม 2 ตำแหน่ง จึงเลื่อนจุดทั้งสองจำนวนไปทางขวา 2 ตำแหน่ง ได้ $50 \div 25 = 2$ · ตรวจคำตอบ $0.25 \times 2 = 0.5$ ✓
• $4.8 \div 0.6$ — ตัวหารมี 1 ตำแหน่ง เลื่อนจุดขวา 1 ตำแหน่ง ได้ $48 \div 6 = 8$ · ตรวจคำตอบ $0.6 \times 8 = 4.8$ ✓
• $0.36 \div 1.2$ — เลื่อนจุดขวา 1 ตำแหน่ง ได้ $3.6 \div 12$ → $36 \div 12 = 3$ แล้ววางจุดให้ตรงกับ $3.6$ จึงได้ $0.3$ · ตรวจคำตอบ $1.2 \times 0.3 = 0.36$ ✓
• หารไม่ลงตัว — $1.5 \div 0.4$ เลื่อนจุดขวา 1 ตำแหน่ง ได้ $15 \div 4$ → $15 \div 4 = 3$ เศษ 3 → เติม 0 เป็น $30 \div 4 = 7$ เศษ 2 → เติม 0 อีกเป็น $20 \div 4 = 5$ จึงได้ $3.75$

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A[โจทย์ 0.5 หาร 0.25] --> B{ตัวหารเป็นจำนวนเต็มหรือยัง}
    B -->|ยังไม่เป็น| C[นับตำแหน่งทศนิยมของตัวหาร<br/>0.25 มี 2 ตำแหน่ง]
    C --> D[เลื่อนจุดตัวหารไปทางขวา 2 ตำแหน่ง<br/>0.25 เป็น 25]
    D --> E[เลื่อนจุดตัวตั้งไปทางขวาเท่ากัน<br/>0.5 เป็น 50]
    E --> F[หารเหมือนจำนวนเต็ม 50 หาร 25 เท่ากับ 2]
    B -->|เป็นแล้ว| F
    F --> G[วางจุดทศนิยมของผลหาร<br/>ให้ตรงกับจุดของตัวตั้งที่เลื่อนแล้ว]
    G --> H[ตรวจคำตอบ 0.25 คูณ 2 เท่ากับ 0.5]

คำบรรยายภาพ: ผังขั้นตอนการหารทศนิยมแบบเลื่อนจุด เริ่มจากดูว่าตัวหารเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ถ้ายังไม่เป็น ให้นับตำแหน่งทศนิยมของตัวหารแล้วเลื่อนจุดของทั้งตัวหารและตัวตั้งไปทางขวาเท่ากัน จากนั้นหารเหมือนจำนวนเต็ม วางจุดทศนิยมของผลหารให้ตรงกับตัวตั้ง และปิดท้ายด้วยการคูณกลับเพื่อตรวจคำตอบ

คำบรรยายภาพ: ภาพแสดงการตั้งหาร $0.5 \div 0.25$ เทียบกับ $50 \div 25$ โดยมีลูกศรชี้ว่าจุดทศนิยมของตัวตั้งและตัวหารถูกเลื่อนไปทางขวาเท่ากัน 2 ตำแหน่ง ผลหารจึงเท่ากันคือ 2

องค์ความรู้

• โจทย์หลายขั้นตอนคือโจทย์ที่ต้องคิดคำนวณต่อเนื่อง 3 ครั้งก่อนได้คำตอบสุดท้าย โดยผลของขั้นหนึ่งถูกนำไปใช้ในขั้นถัดไป
• ขั้นที่ 1 — อ่านและแยกข้อมูล ระบุว่าโจทย์ให้อะไร ถามอะไร และทุกจำนวนมีหน่วยเป็นอะไร (บาท · ลิตร · เมตร · กิโลกรัม)
• ขั้นที่ 2 — วางแผน เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทีละขั้น ระบุให้ชัดว่าขั้นไหนทำก่อน แล้วขั้นต่อไปเอาผลนั้นไปทำอะไร
• ขั้นที่ 3 — คิดและตรวจ คิดตามลำดับที่วางไว้ ใส่หน่วยกำกับทุกบรรทัด แล้วตรวจว่าคำตอบสมเหตุสมผลกับสถานการณ์จริงไหม
• เรื่องเงินคำตอบอยู่ในรูปทศนิยม 2 ตำแหน่ง เช่น $462.50$ บาท
• ตอบให้ตรงคำถาม — ถ้าถาม «ได้กี่ถุง» ต้องตอบจำนวนถุง ไม่ใช่จำนวนเงินที่ขายได้
• ถ้าผลหารเป็นทศนิยมแต่ของที่นับได้ต้องเป็นชิ้นเต็ม ให้ย้อนอ่านโจทย์ว่ารถามจำนวนเต็มหรือค่าที่เป็นทศนิยมได้

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ริบบิ้น 3 เส้น ยาวเส้นละ 2.4 เมตร ตัดใช้ไป 5.4 เมตร ที่เหลือตัดเป็นท่อน ท่อนละ 0.6 เมตร ได้กี่ท่อน
  1. ความยาวทั้งหมด $3 \times 2.4 = 7.2$ เมตร
  2. ตัดใช้ไป 5.4 เมตร เหลือ $7.2 - 5.4 = 1.8$ เมตร
  3. ตัดได้ $1.8 \div 0.6 = 3$ ท่อน — ตอบ 3 ท่อน
• ข้าวสาร 5 ถุง หนักถุงละ 2.5 กิโลกรัม แบ่งใส่ถุงเล็ก ถุงละ 0.5 กิโลกรัม แล้วขายถุงเล็กถุงละ 18.50 บาท ขายหมดได้เงินเท่าไร
  1. น้ำหนักทั้งหมด $5 \times 2.5 = 12.5$ กิโลกรัม
  2. ได้ถุงเล็ก $12.5 \div 0.5 = 25$ ถุง
  3. ขายได้ $25 \times 18.50 = 462.50$ บาท — ตอบ 462.50 บาท
• ซื้อสมุด 4 เล่ม เล่มละ 12.75 บาท จ่ายธนบัตร 100 บาท แล้วเก็บเงินทอนใส่ซอง ซองละ 7 บาท ได้กี่ซอง
  1. ราคาสมุดทั้งหมด $4 \times 12.75 = 51$ บาท
  2. เงินทอน $100 - 51 = 49$ บาท
  3. ใส่ซองได้ $49 \div 7 = 7$ ซอง — ตอบ 7 ซอง

ภาพและไดอะแกรม

ขั้น	สิ่งที่ทำ	ตัวอย่างจากโจทย์ริบบิ้น
1	อ่านและแยกข้อมูล	มีริบบิ้น 3 เส้น เส้นละ 2.4 ม. · ใช้ไป 5.4 ม. · ตัดท่อนละ 0.6 ม.
2	วางแผนเป็นประโยคสัญลักษณ์	$(3 \times 2.4) - 5.4$ แล้วนำผลไปหารด้วย $0.6$
3	คิดและตรวจคำตอบ	$7.2 - 5.4 = 1.8$ → $1.8 \div 0.6 = 3$ ท่อน (คำตอบเป็นจำนวนเต็ม สมเหตุสมผล)

คำบรรยายภาพ: ตาราง 3 ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาทศนิยม โดยยกตัวอย่างโจทย์ริบบิ้น — ขั้นที่ 1 อ่านและแยกข้อมูลพร้อมหน่วย ขั้นที่ 2 วางแผนเป็นประโยคสัญลักษณ์ ขั้นที่ 3 คิดตามลำดับและตรวจว่าคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่สมเหตุสมผล

flowchart TD
    S1[ขั้นที่ 1 อ่านและแยกข้อมูล<br/>โจทย์ให้อะไร ถามอะไร หน่วยคืออะไร] --> S2[ขั้นที่ 2 วางแผน<br/>เขียนประโยคสัญลักษณ์ทีละขั้น]
    S2 --> S3[ขั้นที่ 3 คิดตามลำดับ<br/>เอาผลของขั้นก่อนมาใช้ต่อ]
    S3 --> S4[ตรวจคำตอบ<br/>คูณกลับ หรือดูความสมเหตุสมผล]
    S4 --> S5[ตอบพร้อมหน่วย<br/>และตอบให้ตรงคำถาม]

คำบรรยายภาพ: ผัง 3 ขั้นตอนของการแก้โจทย์ปัญหาทศนิยม เริ่มจากการอ่านและแยกข้อมูลพร้อมหน่วย วางแผนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทีละขั้น คิดตามลำดับโดยใช้ผลของขั้นก่อนหน้า แล้วตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับหรือดูความสมเหตุสมผล ก่อนตอบพร้อมหน่วยให้ตรงกับสิ่งที่โจทย์ถาม

คำบรรยายภาพ: ภาพริบบิ้น 3 เส้น เส้นละ 2.4 เมตร เมื่อต่อรวมกันได้ 7.2 เมตร ตัดออก 5.4 เมตร และแบ่งส่วนที่เหลือ 1.8 เมตร ออกเป็นท่อนละ 0.6 เมตร ได้ 3 ท่อน

องค์ความรู้

• ทศนิยมกับเศษส่วนเป็น «สองหน้าตา» ของจำนวนเดียวกัน — เศษส่วนที่ตัวส่วนเป็น 10, 100, 1{,}000 แปลงเป็นทศนิยมได้ตรง ๆ
  • $\frac{3}{10} = 0.3$ (ส่วนสิบ = ทศนิยม 1 ตำแหน่ง) · $\frac{25}{100} = 0.25$ (ส่วนร้อย = 2 ตำแหน่ง) · $\frac{7}{1{,}000} = 0.007$ (ส่วนพัน = 3 ตำแหน่ง)
• แปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม ทำได้ 2 วิธี
  • ทำส่วนให้เป็น 10, 100 หรือ 1{,}000 ก่อน แล้วอ่านเป็นทศนิยมตรง ๆ — เหมาะกับตัวส่วน 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50
  • หารเศษด้วยตัวส่วน — ใช้ได้กับทุกเศษส่วน แต่ต้องหารยาวและอาจหารไม่ลงตัว
• แปลงทศนิยมเป็นเศษส่วน เขียนทศนิยมเป็นเศษส่วนที่มีส่วนเป็น 10, 100 หรือ 1{,}000 ตามจำนวนตำแหน่ง แล้ว ทอนเป็นรูปอย่างต่ำ ด้วย ห.ร.ม.
• จำนวนตำแหน่งหลังจุดบอกตัวส่วนเสมอ: 1 ตำแหน่ง → ส่วน 10 · 2 ตำแหน่ง → ส่วน 100 · 3 ตำแหน่ง → ส่วน 1{,}000
• ตรวจคำตอบด้วยการแปลงกลับ ถ้าแปลงกลับไปมาแล้วได้จำนวนเดิม แสดงว่าคิดถูก

ตัวอย่างและวิธีคิด

• $\frac{3}{4}$ เป็นทศนิยม — ทำส่วนให้เป็น 100: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75$
• $\frac{1}{8}$ เป็นทศนิยม — ทำส่วนให้เป็น 1{,}000: $\frac{1}{8} = \frac{1 \times 125}{8 \times 125} = \frac{125}{1{,}000} = 0.125$
• $0.375$ เป็นเศษส่วน — เขียน $\frac{375}{1{,}000}$ → ห.ร.ม. ของ 375 และ 1{,}000 คือ 125 → $\frac{375 \div 125}{1{,}000 \div 125} = \frac{3}{8}$
• $0.6$ เป็นเศษส่วน — $\frac{6}{10}$ → ห.ร.ม. ของ 6 และ 10 คือ 2 → $\frac{3}{5}$
• ใช้วิธีหารเศษด้วยตัวส่วน — $\frac{7}{8} = 7 \div 8 = 0.875$ ซึ่งหารลงตัวพอดี และได้คำตอบเดียวกันกับวิธีทำส่วนให้เป็น 1{,}000 ($\frac{7}{8} = \frac{875}{1{,}000}$)

ภาพและไดอะแกรม

เศษส่วน	แปลงเป็นทศนิยม	วิธีที่ใช้
$\frac{7}{10}$	$0.7$	ตัวส่วนเป็น 10 อยู่แล้ว
$\frac{3}{4}$	$0.75$	ทำส่วนเป็น 100
$\frac{2}{5}$	$0.4$	ทำส่วนเป็น 10
$\frac{1}{8}$	$0.125$	ทำส่วนเป็น 1{,}000
$\frac{7}{8}$	$0.875$	หารเศษด้วยตัวส่วน

คำบรรยายภาพ: ตารางแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม 5 ตัวอย่าง โดยเศษส่วนที่ตัวส่วนเป็น 10, 100 หรือ 1{,}000 อยู่แล้วแปลงได้ตรง ๆ ส่วนตัวส่วนอื่นให้ทำส่วนให้เป็น 10, 100 หรือ 1{,}000 ก่อน และตัวอย่างสุดท้ายใช้วิธีหารเศษด้วยตัวส่วน ซึ่งได้คำตอบเท่ากัน