เลขยกกำลัง

องค์ความรู้

• เลขยกกำลัง คือการเขียนจำนวนที่เกิดจากตัวคูณซ้ำกัน ในรูป $a^n$ อ่านว่า «$a$ ยกกำลัง $n$»
• แยกชื่อให้ถูก — $a$ เรียกว่า ฐาน (ตัวที่ถูกคูณซ้ำ) ส่วน $n$ เรียกว่า เลขชี้กำลัง (บอกว่าคูณซ้ำกี่ตัว)
• ความหมายคือ $a^n = a \times a \times \ldots \times a$ โดยมี $a$ ทั้งหมด $n$ ตัว เช่น $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$
• กรณีพิเศษที่ต้องจำให้ขึ้นใจ — $a^1 = a$ · $a^0 = 1$ เมื่อ $a \neq 0$ · $1^n = 1$ · $0^n = 0$ เมื่อ $n$ มากกว่า $0$
• ฐานเป็นจำนวนลบให้ใช้ วงเล็บ — $(-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8$ และ $(-2)^4 = 16$ เพราะตัวประกอบที่เป็นลบมี $3$ ตัว (คี่) กับ $4$ ตัว (คู่)
• วงเล็บเปลี่ยนความหมาย — $(-2)^2 = 4$ แต่ $-2^2 = -(2^2) = -4$ (กรณีหลังเครื่องหมายลบไม่ได้อยู่ในวงเล็บ จึงไม่ถูกยกกำลัง)
• เลขชี้กำลังบอกจำนวนหลักของจำนวนที่ลงท้ายด้วยศูนย์ด้วย — $10^n$ มีเลขศูนย์ $n$ ตัว เช่น $10^3 = 1{,}000$ และ $10^6 = 1{,}000{,}000$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• เปลี่ยนรูปแล้วคูณ — $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3$ → คิดทีละคู่: $3 \times 3 = 9$ → $9 \times 3 = 27$ → $27 \times 3 = 81$ ดังนั้น $3^4 = 81$
• ฐานเป็นจำนวนลบ — $(-3)^2 = (-3)(-3) = 9$ (ลบคูณลบได้บวก) · $(-3)^3 = 9 \times (-3) = -27$ (จำนวนตัวลบเป็นคี่ จึงได้ลบ)
• สองค่าที่เด็กสลับกัน — $5^2 = 5 \times 5 = 25$ แต่ $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ และห้ามอ่าน $5^2$ ว่า $5 \times 2 = 10$
• ค่าที่ควรจำ — $2^6 = 64$ · $3^3 = 27$ · $4^3 = 64$ · $5^3 = 125$ · $10^5 = 100{,}000$

ภาพและไดอะแกรม

จำนวน	เขียนเป็นเลขยกกำลัง	ค่า
$4$	$2^2$	$4$
$8$	$2^3$	$8$
$16$	$2^4$	$16$
$100$	$10^2$	$100$
$1{,}000$	$10^3$	$1{,}000$
$1{,}000{,}000$	$10^6$	$1{,}000{,}000$

คำบรรยายภาพ: ตารางเทียบจำนวนที่คุ้นเคยกับรูปเลขยกกำลังของมัน เช่น 16 เขียนได้เป็น 2 ยกกำลัง 4 และ 1{,}000 เขียนได้เป็น 10 ยกกำลัง 3 โดยเลขชี้กำลังของฐาน 10 บอกจำนวนเลขศูนย์ที่ต่อท้ายพอดี

องค์ความรู้

• คูณเลขยกกำลังฐานเดียวกัน — เอาเลขชี้กำลังมาบวกกัน: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• หารเลขยกกำลังฐานเดียวกัน — เอาเลขชี้กำลังมาลบกัน: $a^m \div a^n = a^{m-n}$ (ในระดับนี้ให้ $m$ มากกว่า $n$)
• จะใช้สูตรได้ ต้องมีฐานเดียวกันเท่านั้น — $2^3 \times 3^2$ ไม่ใช้สูตรนี้ ต้องคิดค่าของแต่ละตัวก่อนแล้วจึงคูณ
• สังเกตว่าสูตรนี้สั้นกว่าการเขียนตัวคูณให้ยาวได้มาก — $2^3 \times 2^4$ คือ $7$ ตัวของ $2$ จึงเขียนเป็น $2^7$
• ตรวจคำตอบได้เสมอด้วยการคิดค่าจริงจากนิยามใน math-exp-01 — ถ้าค่าต่างกันแสดงว่าใช้สูตรผิดหรือฐานไม่เหมือนกัน
• กรณีที่ $m = n$ จะได้ $a^n \div a^n = a^0 = 1$ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไม $a^0 = 1$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• คูณ — $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ · ตรวจด้วยนิยาม: $2^3 = 8$ และ $2^4 = 16$ → $8 \times 16 = 128$ ตรงกัน
• หาร — $5^6 \div 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25$ · ตรวจด้วยนิยาม: $5^6 = 15{,}625$ และ $5^4 = 625$ → $15{,}625 \div 625 = 25$ ตรงกัน
• เลขชี้กำลังเป็น $1$ — $3^4 \times 3 = 3^{4+1} = 3^5 = 243$ (อย่าลืมว่า $3$ เขียนเป็น $3^1$ ได้)
• ฐานต่างกันใช้สูตรไม่ได้ — $2^3 \times 3^2$ ต้องคิดค่าของแต่ละตัวก่อน: $8 \times 9 = 72$ (ถ้าเผลอใช้สูตรบวกเลขชี้กำลังจะไม่ได้ $72$ เลย เพราะฐานไม่เหมือนกัน) · วิธีที่ปลอดภัยที่สุดคือ ตรวจว่าฐานเหมือนกันหรือไม่ก่อนใช้สูตร

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["โจทย์คูณหรือหารเลขยกกำลัง"] --> B{"ฐานเหมือนกันหรือไม่"}
    B -->|"เหมือนกัน"| C{"คูณหรือหาร"}
    C -->|"คูณ"| D["บวกเลขชี้กำลัง<br/>a^m × a^n = a^(m+n)<br/>2^3 × 2^4 = 2^7 = 128"]
    C -->|"หาร"| E["ลบเลขชี้กำลัง<br/>a^m ÷ a^n = a^(m−n)<br/>5^6 ÷ 5^4 = 5^2 = 25"]
    B -->|"ต่างกัน"| F["ใช้สูตรไม่ได้<br/>คิดค่าของแต่ละตัวก่อนแล้วจึงคูณหรือหาร"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังเลือกวิธีคิดโจทย์เลขยกกำลัง เริ่มจากตรวจว่าฐานเหมือนกันหรือไม่ ถ้าฐานเหมือนกันและเป็นการคูณให้บวกเลขชี้กำลัง ถ้าเป็นการหารให้ลบเลขชี้กำลัง ถ้าฐานต่างกันจะใช้สูตรสั้น ๆ ไม่ได้ ต้องหาค่าของแต่ละจำนวนก่อนแล้วจึงคูณหรือหารตามปกติ