บทเพิ่มเติมห้องพิเศษ

องค์ความรู้

• ทบทวนพื้นฐาน (ดู math-int.md หัวข้อ math-int-05): $|a|$ คือระยะจาก $0$ ถึง $a$ บนเส้นจำนวน จึงไม่มีทางติดลบ — $|-9| = 9$ และ $|9| = 9$
• $|x - y|$ อ่านว่า ระยะห่างระหว่าง $x$ กับ $y$ บนเส้นจำนวน จึงได้เท่ากันทั้งสองทิศ: $|3 - 8| = |8 - 3| = 5$
• สมการรูป $|x| = a$ เมื่อ $a$ ไม่ติดลบ มี สองคำตอบเสมอ: $x = a$ หรือ $x = -a$ (ถ้า $a = 0$ คำตอบเดียวคือ $x = 0$)
• สมการรูป $|x - c| = a$ ให้แยกเป็นสองกรณี: $x - c = a$ หรือ $x - c = -a$ แล้วแก้ทีละกรณี
• คำนวณค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ให้ คิดในวงเล็บหรือคิดค่าข้างในก่อน จึงค่อยถอดค่าสัมบูรณ์ เช่น $||-4| - |7|| = |4 - 7| = 3$
• จำนวนตรงข้ามกันมีค่าสัมบูรณ์เท่ากันเสมอ — ใช้ตรวจคำตอบของสมการค่าสัมบูรณ์ได้ทันที

ตัวอย่างและวิธีคิด

• แก้สมการค่าสัมบูรณ์ — $|x| = 7$ → $x = 7$ หรือ $x = -7$ เพราะทั้ง $7$ และ $-7$ อยู่ห่างจาก $0$ เท่ากับ $7$ หน่วย
• แก้สมการที่มีการบวกลบในค่าสัมบูรณ์ — $|x - 3| = 5$ แยกเป็นกรณี $x - 3 = 5$ → $x = 8$ และ $x - 3 = -5$ → $x = -2$ · ตรวจ: $|8 - 3| = 5$ และ $|-2 - 3| = |-5| = 5$ ถูกต้องทั้งสองคำตอบ
• ระยะห่างระหว่างจำนวนลบ — $|-4 - (-10)| = |-4 + 10| = |6| = 6$ แปลว่า $-4$ อยู่ห่างจาก $-10$ เท่ากับ $6$ หน่วย

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["สมการ |x − 3| = 5"] --> B["ค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 5<br/>หมายถึงระยะจาก 3 เท่ากับ 5 หน่วย"]
    B --> C["กรณีที่ 1 ไปทางขวา<br/>x − 3 = 5 → x = 8"]
    B --> D["กรณีที่ 2 ไปทางซ้าย<br/>x − 3 = −5 → x = −2"]
    C --> E["ตรวจคำตอบ<br/>|8 − 3| = 5"]
    D --> E

คำบรรยายภาพ: แผนผังการแก้สมการค่าสัมบูรณ์ จากสมการที่ค่าสัมบูรณ์ของ x ลบ 3 เท่ากับ 5 แปลว่าจำนวนในวงเล็บต้องอยู่ห่างจาก 0 เท่ากับ 5 หน่วย จึงแยกเป็นสองกรณี คือไปทางขวาได้ x เท่ากับ 8 และไปทางซ้ายได้ x เท่ากับ −2 แล้วนำทั้งสองค่าไปตรวจกับสมการเดิม

องค์ความรู้

• สแควรูท หรือ รากที่สอง ของจำนวนหนึ่ง คือจำนวนที่ ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนนั้น เขียนสัญลักษณ์เป็น $\sqrt{a}$ เช่น $\sqrt{9} = 3$ เพราะ $3 \times 3 = 9$
• จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ คือจำนวนที่เป็นผลจากการยกกำลังสองของจำนวนนับ ได้แก่ $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, \ldots$
• ค่าที่ควรจำ: $\sqrt{1} = 1$ · $\sqrt{25} = 5$ · $\sqrt{81} = 9$ · $\sqrt{100} = 10$ · $\sqrt{144} = 12$ · $\sqrt{196} = 14$ · $\sqrt{225} = 15$
• สแควรูทเป็นการ ย้อนการยกกำลังสอง — ถ้าฐานเป็นจำนวนลบจะได้ $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ ซึ่งเป็นค่าบวกเสมอ
• หารากที่สองของจำนวนใหญ่ได้ด้วย การแยกตัวประกอบเฉพาะ แล้วจับคู่ตัวซ้ำ: $900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$ จึงได้ $\sqrt{900} = 2 \times 3 \times 5 = 30$
• จำนวนที่ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ให้ตอบเป็น ค่าประมาณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน เช่น $\sqrt{50}$ อยู่ระหว่าง $7$ กับ $8$ เพราะ $49 < 50 < 64$
• จำนวนลบไม่มีสแควรูท (ในระดับนี้) เพราะไม่มีจำนวนใดยกกำลังสองแล้วได้ค่าลบ

ตัวอย่างและวิธีคิด

• รากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์ — $\sqrt{81} = 9$ เพราะ $9 \times 9 = 81$ · $\sqrt{144} = 12$ เพราะ $12 \times 12 = 144$
• ใช้การแยกตัวประกอบ — $\sqrt{196}$: แยก $196 = 2 \times 98 = 2 \times 2 \times 49 = 2^2 \times 7^2$ → จับคู่ได้ $\sqrt{196} = 2 \times 7 = 14$ · ตรวจ: $14 \times 14 = 196$ ถูกต้อง
• หาว่าอยู่ระหว่างจำนวนใด — $\sqrt{50}$: กำลังสองสมบูรณ์ที่อยู่ติดกันคือ $49 = 7^2$ กับ $64 = 8^2$ → $\sqrt{50}$ อยู่ระหว่าง $7$ กับ $8$ (ใกล้ $7$ มากกว่า)
• ตรวจคำตอบด้วยการยกกำลังสอง — ถ้าคิดได้ $\sqrt{900} = 30$ ให้ตรวจ $30 \times 30 = 900$ ยืนยันว่าถูก

ภาพและไดอะแกรม

จำนวน	แยกตัวประกอบเฉพาะ	สแควรูท
$36$	$2^2 \times 3^2$	$2 \times 3 = 6$
$144$	$2^4 \times 3^2$	$2^2 \times 3 = 12$
$196$	$2^2 \times 7^2$	$2 \times 7 = 14$
$900$	$2^2 \times 3^2 \times 5^2$	$2 \times 3 \times 5 = 30$

คำบรรยายภาพ: ตารางหาสแควรูทด้วยการแยกตัวประกอบเฉพาะ เมื่อจำนวนหนึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวประกอบเฉพาะทุกตัวจะจับคู่ได้เสมอ จากนั้นให้หยิบตัวละหนึ่งตัวจากแต่ละคู่มาคูณกัน เช่น 900 แยกได้ 2 กำลัง 2 คูณ 3 กำลัง 2 คูณ 5 กำลัง 2 จึงได้สแควรูทเท่ากับ 2 คูณ 3 คูณ 5 เท่ากับ 30

องค์ความรู้

• แฟกทอเรียล ของจำนวนนับ $n$ เขียนเป็น $n!$ อ่านว่า «$n$ แฟกทอเรียล» หมายถึงผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ เช่น $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
• ค่าที่ต้องจำ — $1! = 1$ · $2! = 2$ · $3! = 6$ · $4! = 24$ · $5! = 120$ · $6! = 720$
• $0! = 1$ ตามนิยาม (ไม่ใช่ $0$) เพื่อให้สูตรการนับใช้ได้ครบทุกกรณี
• แฟกทอเรียล โตเร็วมาก — $7! = 5{,}040$ และ $8! = 40{,}320$ จึงควรจำค่าถึง $6!$ แล้วคิดต่อจากค่าที่จำไว้ เช่น $7! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5{,}040$
• ใช้ในโจทย์ นับจำนวนวิธีจัดเรียง สิ่งของที่แตกต่างกันทีละทั้งหมด — จัดเรียง $n$ สิ่งสลับกันได้ $n!$ วิธี
• แฟกทอเรียลตัดกันได้ — $\frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20$ (ไม่ต้องคูณให้ครบแล้วหาร)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• คิดค่าตรง ๆ — $3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$ · $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ · $5! = 120$
• คิดจากค่าที่จำไว้ — $6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720$ แล้ว $7! = 7 \times 720 = 5{,}040$
• โจทย์นับวิธี — จัดเรียงหนังสือที่แตกต่างกัน $5$ เล่มบนชั้นเป็นแถว ทำได้ $5! = 120$ วิธี (เล่มแรกเลือกได้ $5$ วิธี เล่มถัดไปเลือกจากที่เหลือ $4, 3, 2, 1$ วิธี แล้วคูณกัน)
• ตัดกันก่อนคูณ — $\frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 6 \times 5 = 30$ ประหยัดเวลากว่าคิด $720 \div 24$ มาก

ภาพและไดอะแกรม

flowchart LR
    A["1! = 1"] --> B["2! = 2 × 1 = 2"]
    B --> C["3! = 3 × 2! = 6"]
    C --> D["4! = 4 × 3! = 24"]
    D --> E["5! = 5 × 4! = 120"]
    E --> F["6! = 6 × 5! = 720"]
    F --> G["7! = 7 × 6! = 5{,}040"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังการเพิ่มค่าของแฟกทอเรียลทีละขั้น จาก 1 แฟกทอเรียลเท่ากับ 1 แล้วคูณด้วยจำนวนถัดไปเรื่อย ๆ ได้ 2 แฟกทอเรียลเท่ากับ 2 ไปจนถึง 6 แฟกทอเรียลเท่ากับ 720 และ 7 แฟกทอเรียลเท่ากับ 5{,}040 ซึ่งแสดงว่าแฟกทอเรียลโตขึ้นเร็วมากเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้นเพียงหนึ่ง

องค์ความรู้

• ขั้นตอนแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มี 4 ขั้น คือ ทำความเข้าใจปัญหา → วางแผนว่าจะใช้วิธีใด → ดำเนินการตามแผน → ตรวจสอบคำตอบ
• กลยุทธ์ที่ใช้บ่อยในข้อสอบห้องพิเศษ
  • ทำย้อนกลับ — เหมาะกับโจทย์ที่เล่าการดำเนินการเป็นขั้นจากต้นไปปลาย แล้วถามค่าตั้งต้น
  • วาดรูปหรือแผนภาพ — เหมาะกับโจทย์นับจำนวน ระยะทาง หรือที่ตั้งของสิ่งต่าง ๆ
  • ทำตารางหรือแจกแจงกรณี — เหมาะกับโจทย์ที่มีไม่กี่กรณีและต้องไม่ลืมกรณีใด
  • หาแบบรูป — เหมาะกับโจทย์ที่ให้ชุดตัวเลขหรือชุดรูปต่อเนื่องกัน
  • เดาและตรวจสอบ — เหมาะเมื่อคำตอบเป็นจำนวนจำกัด ลองค่าแล้วตรวจเงื่อนไขทุกข้อ
• หลักเลือกกลยุทธ์คือ อ่านว่าโจทย์ให้ข้อมูลมาแบบไหน และถามอะไร ไม่มีกลยุทธ์เดียวที่ใช้ได้ทุกข้อ
• ขั้น «ตรวจสอบ» ห้ามข้าม — ต้องตรวจว่าคำตอบเข้าเงื่อนไขครบทุกข้อของโจทย์ หน่วยถูก และตอบตรงคำถาม

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ทำย้อนกลับ — จำนวนหนึ่งคูณด้วย $3$ แล้วบวกอีก $4$ ได้ $19$ ให้เริ่มจากผลลัพธ์แล้วย้อนเครื่องหมาย: $19 - 4 = 15$ → $15 \div 3 = 5$ · ตรวจ: $5 \times 3 + 4 = 19$ ถูกต้อง
• วาดรูปและหาแบบรูป — คน $5$ คนจับมือกันครบทุกคู่ได้กี่ครั้ง เริ่มจากคนแรกจับกับอีก $4$ คน → คนที่สองเหลือ $3$ คน → ต่อด้วย $2$ และ $1$ → รวม $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ ครั้ง (วาดจุดแทนคนแล้วลากเส้นเชื่อมทุกคู่ จะเห็นว่าไม่มีเส้นซ้ำ)
• เดาและตรวจสอบ — หาจำนวนสองหลักที่ผลบวกของเลขโดดเป็น $9$ และเลขโดดสองตัวต่างกัน $3$ ลองคู่ที่บวกกันได้ $9$ คือ $45, 54$ (ต่างกัน $1$) และ $36, 63$ (ต่างกัน $3$) → เงื่อนไขครบทั้งสองข้อคือ $36$ และ $63$ เพราะสลับหลักกันได้ อย่าตอบเพียงตัวเดียว

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["ทำความเข้าใจปัญหา<br/>โจทย์ให้อะไร ถามอะไร หน่วยอะไร"] --> B["วางแผนเลือกกลยุทธ์<br/>ทำย้อนกลับ · วาดรูป · ทำตาราง · หาแบบรูป · เดาและตรวจสอบ"]
    B --> C["ดำเนินการตามแผน<br/>เขียนวิธีคิดเป็นขั้น อธิบายได้ทุกบรรทัด"]
    C --> D["ตรวจสอบคำตอบ<br/>เข้าเงื่อนไขครบทุกข้อ หน่วยถูก ตอบตรงคำถาม"]
    D -->|"ไม่ผ่าน"| B

คำบรรยายภาพ: แผนผังสี่ขั้นตอนการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เริ่มจากทำความเข้าใจว่าปัญหาให้อะไรและถามอะไร วางแผนเลือกกลยุทธ์ที่เหมาะกับโจทย์ ดำเนินการตามแผนเป็นขั้นตอนที่อธิบายได้ แล้วตรวจสอบคำตอบว่าเข้าเงื่อนไขครบทุกข้อและหน่วยถูกต้อง ถ้าไม่ผ่านให้ย้อนกลับไปเลือกกลยุทธ์ใหม่