ตัวประกอบ จำนวนเฉพาะ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

องค์ความรู้

• ตัวประกอบ ของจำนวนนับ คือจำนวนนับที่หารจำนวนนั้นได้ลงตัว เช่น ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12
• ทุกจำนวนนับมี 1 และตัวมันเองเป็นตัวประกอบเสมอ · ตัวประกอบมีจำนวนจำกัด หาได้ครบทุกตัว
• จำนวนเฉพาะ คือจำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13
• 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีตัวประกอบเพียงตัวเดียว · 2 เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่เป็นจำนวนคู่ ที่เหลือเป็นจำนวนคี่ทั้งหมด
• จำนวนประกอบ คือจำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว เช่น 4, 6, 9, 12
• ตัวประกอบเฉพาะ คือตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ เช่น ตัวประกอบเฉพาะของ 12 คือ 2 และ 3
• จำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง 50 มีทั้งหมด 15 จำนวน ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 และ 47
• จำนวนคี่ที่ดูเหมือนจำนวนเฉพาะแต่มักหลอกเด็ก ได้แก่ 9 (มาจาก $3 \times 3$) · 21 · 27 · 33 · 39 · 49 (มาจาก $7 \times 7$)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• หาตัวประกอบของ 18 ให้ครบทุกตัว — จับคู่จำนวนที่คูณกันได้ 18: $1 \times 18$, $2 \times 9$, $3 \times 6$ → ตัวประกอบคือ 1, 2, 3, 6, 9, 18
• เช็กว่าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ — 91 ลองหารด้วยจำนวนเฉพาะที่ไม่เกินรากที่สองของ 91 คือ 2, 3, 5 และ 7 · หาร 2, 3, 5 ไม่ลงตัว แต่ $91 \div 7 = 13$ ลงตัว จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะ $91 = 7 \times 13$
• หาว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะ — จาก 1, 2, 9, 17, 21 เลือกได้แค่ 2 และ 17 · 1 ไม่นับ · 9 กับ 21 เป็นจำนวนประกอบ

ภาพและไดอะแกรม

จำนวน	ตัวประกอบ	สรุป
1	1	ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (มีตัวประกอบตัวเดียว)
2	1, 2	จำนวนเฉพาะ
9	1, 3, 9	จำนวนประกอบ
17	1, 17	จำนวนเฉพาะ
21	1, 3, 7, 21	จำนวนประกอบ

คำบรรยายภาพ: ตารางแยกแยะจำนวนเฉพาะกับจำนวนประกอบ โดยนับจำนวนตัวประกอบ — จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวเป็นจำนวนเฉพาะ ส่วนจำนวนที่มีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัวเป็นจำนวนประกอบ และ 1 ไม่จัดอยู่ในทั้งสองพวก

องค์ความรู้

• การแยกตัวประกอบ คือการเขียนจำนวนนับเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ เช่น $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
• เขียนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูป เลขยกกำลัง เมื่อมีตัวซ้ำ เพื่อให้อ่านสั้นและนำไปใช้ต่อได้ง่าย
• วิธีที่ใช้บ่อยมี 2 วิธี
  • ตั้งหารสั้น — หารด้วยจำนวนเฉพาะที่หารลงตัวไปเรื่อย ๆ จนผลหารสุดท้ายเป็น 1 แล้วนำตัวหารทุกตัวมาคูณกัน
  • แผนภาพต้นไม้ — แตกจำนวนออกเป็นสองตัวคูณกัน ทำไปเรื่อย ๆ จนทุกปลายทางเป็นจำนวนเฉพาะ
• ผลลัพธ์จากทั้งสองวิธีต้องได้ชุดจำนวนเฉพาะเดียวกันเสมอ — ใช้ตรวจสอบกันและกันได้
• ตัวช่วยตรวจการหารลงตัว: ลงท้ายด้วย 0 2 4 6 8 หารด้วย 2 ลงตัว · ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 หารด้วย 5 ลงตัว · ผลบวกของเลขโดดหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนั้นหารด้วย 3 ลงตัว · ผลบวกของเลขโดดหารด้วย 9 ลงตัว จำนวนนั้นหารด้วย 9 ลงตัว
• การแยกตัวประกอบเป็นขั้นแรกของการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทุกวิธี

ตัวอย่างและวิธีคิด

• แยกตัวประกอบของ 60 ด้วยการตั้งหารสั้น — $60 \div 2 = 30$ → $30 \div 2 = 15$ → $15 \div 3 = 5$ → $5 \div 5 = 1$ จึงได้ $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
• แยกตัวประกอบของ 84 ด้วยแผนภาพต้นไม้ — $84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7$ → ตัวประกอบเฉพาะคือ 2, 3 และ 7
• ตรวจด้วยเกณฑ์การหารลงตัวก่อนเริ่ม — 90 ลงท้ายด้วย 0 จึงหารด้วย 2 กับ 5 ได้ และผลบวกเลขโดด $9 + 0 = 9$ หารด้วย 3 ลงตัว จึงเริ่มจาก $90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A[60] --> B[2]
    A --> C[30]
    C --> D[2]
    C --> E[15]
    E --> F[3]
    E --> G[5]

คำบรรยายภาพ: แผนภาพต้นไม้แสดงการแยกตัวประกอบของ 60 โดยแตก 60 ออกเป็น $2 \times 30$ แล้วแตก 30 เป็น $2 \times 15$ และแตก 15 เป็น $3 \times 5$ ปลายทางทุกเส้นเป็นจำนวนเฉพาะ จึงได้ $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

คำบรรยายภาพ: ภาพเปรียบเทียบวิธีแยกตัวประกอบของ 60 สองวิธี ด้านซ้ายเป็นแผนภาพต้นไม้ที่แตกออกเป็นจำนวนเฉพาะ 2, 2, 3, 5 ด้านขวาเป็นการตั้งหารสั้นด้วยจำนวนเฉพาะ 2, 2, 3, 5 จนผลหารสุดท้ายเป็น 1 และได้ผลคูณเท่ากัน

องค์ความรู้

• ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) คือจำนวนนับที่ มากที่สุด ที่หารจำนวนที่กำหนดให้ได้ลงตัว ทุกจำนวน เช่น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6
• วิธีหา ห.ร.ม. มี 3 วิธี เลือกใช้ตามความถนัด
  • แจกแจงตัวประกอบ ของทุกจำนวน แล้วเลือกตัวร่วมที่มากที่สุด — เหมาะกับจำนวนเล็ก
  • แยกตัวประกอบเฉพาะ แล้วเลือกเฉพาะตัวประกอบที่ ซ้ำกันทุกจำนวน ด้วย กำลังน้อยที่สุด
  • ตั้งหารสั้น หารด้วยจำนวนเฉพาะที่หารทุกจำนวนพร้อมกันลงตัวไปเรื่อย ๆ จนหารไม่ได้อีก แล้วเอาตัวหารทั้งหมดมาคูณกัน
• กรณีที่ควรจำ: ถ้าจำนวนหนึ่งหารอีกจำนวนหนึ่งลงตัว ห.ร.ม. คือ จำนวนที่น้อยกว่า เช่น 4 กับ 20 → ห.ร.ม. = 4
• ถ้าทั้งสองจำนวนไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 (จำนวนเฉพาะต่อกัน) ห.ร.ม. = 1 เช่น 8 กับ 9
• ตัวชี้วัด ป.6 ให้หา ห.ร.ม. ของจำนวนนับไม่เกิน 3 จำนวน
• ใช้ ห.ร.ม. ย่อเศษส่วนให้เป็นอย่างต่ำและย่ออัตราส่วนให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำได้ (ดู math-frac.md · math-ratio.md)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 ด้วยการแจกแจงตัวประกอบ — ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12 · ตัวประกอบของ 18 คือ 1, 2, 3, 6, 9, 18 · ตัวหารร่วมคือ 1, 2, 3, 6 จึงได้ ห.ร.ม. = 6
• ห.ร.ม. ด้วยการแยกตัวประกอบเฉพาะ — $12 = 2^2 \times 3$ และ $18 = 2 \times 3^2$ → ตัวที่ซ้ำกันทุกจำนวนคือ 2 กับ 3 ใช้กำลังน้อยที่สุด ได้ $2 \times 3 = 6$
• ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 ด้วยการตั้งหารสั้น — หารทุกจำนวนด้วย 2 ได้ 12, 18, 30 → หารด้วย 2 อีกครั้งได้ 6, 9, 15 → หารด้วย 3 ได้ 2, 3, 5 ซึ่งไม่มีจำนวนเฉพาะใดหารพร้อมกันได้อีก จึงหยุด → ห.ร.ม. $= 2 \times 2 \times 3 = 12$
• ใช้ ห.ร.ม. ย่อเศษส่วน — ย่อ $\frac{18}{24}$: ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 คือ 6 → $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ จึงได้เศษส่วนอย่างต่ำเป็น $\frac{3}{4}$

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A[จำนวนนับ 2 ถึง 3 จำนวน เช่น 12 กับ 18] --> B[แยกตัวประกอบเฉพาะของแต่ละจำนวน]
    B --> C[12 เท่ากับ 2 คูณ 2 คูณ 3<br/>18 เท่ากับ 2 คูณ 3 คูณ 3]
    C --> D[เลือกตัวประกอบที่ซ้ำกันทุกจำนวน]
    D --> E[ใช้กำลังน้อยที่สุดของตัวที่เลือก]
    E --> F[ห.ร.ม. เท่ากับ 2 คูณ 3 เท่ากับ 6]
    F --> G[ตรวจคำตอบ 6 ต้องหาร 12 และ 18 ลงตัวทั้งคู่]

คำบรรยายภาพ: ผังขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ด้วยการแยกตัวประกอบ เริ่มจากแยกจำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด แล้วเลือกเฉพาะตัวประกอบที่ซ้ำกันทุกจำนวนโดยใช้กำลังน้อยที่สุด จากนั้นนำมาคูณกันเป็น ห.ร.ม. และปิดท้ายด้วยการตรวจว่า ห.ร.ม. ที่ได้หารทุกจำนวนลงตัวจริง

องค์ความรู้

• ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย) คือจำนวนนับที่ น้อยที่สุด ที่มากกว่า 0 และหารด้วยจำนวนที่กำหนดให้ได้ลงตัวทุกจำนวน เช่น ค.ร.น. ของ 12 และ 18 คือ 36
• วิธีหา ค.ร.น. มี 3 วิธี
  • แจกแจงตัวคูณ ของทุกจำนวน แล้วเลือกตัวร่วมที่น้อยที่สุด — เหมาะกับจำนวนเล็ก
  • แยกตัวประกอบเฉพาะ แล้วเลือกตัวประกอบเฉพาะ ทุกตัวที่ปรากฏ ด้วย กำลังมากที่สุด
  • ตั้งหารสั้น ใช้ตัวหารทั้งหมดคูณกับผลหารตัวสุดท้ายที่เหลือทุกตัว (ตัวที่เป็น 1 ไม่ต้องคูณ)
• กรณีที่ควรจำ: ถ้าจำนวนหนึ่งหารอีกจำนวนหนึ่งลงตัว ค.ร.น. คือ จำนวนที่มากกว่า เช่น 4 กับ 20 → ค.ร.น. = 20
• ถ้าทั้งสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะต่อกัน (ห.ร.ม. = 1) ค.ร.น. = ผลคูณของสองจำนวนนั้น เช่น 8 กับ 9 → ค.ร.น. = 72
• สูตรเชื่อมสองเรื่องนี้ใช้ได้กับ 2 จำนวนเท่านั้น: $\text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.} = a \times b$
• การเปรียบเทียบกับ ห.ร.ม.: ห.ร.ม. เลือกตัวซ้ำ กำลังน้อย · ค.ร.น. เลือกทุกตัว กำลังมาก — สลับกันเมื่อไรคำตอบผิดทันที

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ด้วยการแยกตัวประกอบเฉพาะ — $12 = 2^2 \times 3$ และ $18 = 2 \times 3^2$ → เลือกทุกตัวด้วยกำลังมากที่สุด ได้ $2^2 \times 3^2 = 36$
• ตรวจคำตอบด้วยสูตร — $\text{ห.ร.ม.} \times \text{ค.ร.น.} = 6 \times 36 = 216$ และ $12 \times 18 = 216$ ตรงกัน จึงถูกต้อง
• ค.ร.น. ของ 24, 36 และ 60 ด้วยการตั้งหารสั้น — จากข้อ ห.ร.ม. ตัวหารคือ 2, 2, 3 และผลหารสุดท้ายคือ 2, 3, 5 → ค.ร.น. $= 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 5 = 360$
• หาจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 6, 8 และ 12 ลงตัว — $6 = 2 \times 3$, $8 = 2^3$, $12 = 2^2 \times 3$ → ค.ร.น. $= 2^3 \times 3 = 24$ จึงตอบ 24

ภาพและไดอะแกรม

จำนวนคู่	แยกตัวประกอบ	ห.ร.ม.	ค.ร.น.
12 กับ 18	$2^2 \times 3$ กับ $2 \times 3^2$	$2 \times 3 = 6$	$2^2 \times 3^2 = 36$
8 กับ 12	$2^3$ กับ $2^2 \times 3$	$2^2 = 4$	$2^3 \times 3 = 24$
9 กับ 15	$3^2$ กับ $3 \times 5$	$3$	$3^2 \times 5 = 45$

คำบรรยายภาพ: ตารางเปรียบเทียบวิธีหา ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. ของจำนวนคู่ตัวอย่าง โดยแยกตัวประกอบเฉพาะของแต่ละคู่ก่อน แล้วแสดงว่า ห.ร.ม. ใช้ตัวประกอบที่ซ้ำกันด้วยกำลังน้อยที่สุด ส่วน ค.ร.น. ใช้ตัวประกอบทุกตัวด้วยกำลังมากที่สุด

คำบรรยายภาพ: ภาพแผนผังเปรียบเทียบการเลือกตัวประกอบจากจำนวน 12 กับ 18 โดยฝั่ง ห.ร.ม. เลือกเฉพาะตัวที่ซ้ำกันทุกจำนวนด้วยกำลังน้อยที่สุดได้ 6 และฝั่ง ค.ร.น. เลือกตัวประกอบทุกตัวที่ปรากฏด้วยกำลังมากที่สุดได้ 36

องค์ความรู้

• โจทย์ที่ใช้ ห.ร.ม. มีคำใบ้รวมอยู่ 3 กลุ่มคำ: «มากที่สุด» · «เท่ากันทุกกลุ่ม/ทุกชิ้น» · «ยาวที่สุดเท่ากัน»
• โจทย์แบ่งของใส่ถุงหรือจัดเป็นกลุ่ม: จำนวนกลุ่มที่มากที่สุด = ห.ร.ม. ของจำนวนของแต่ละชนิด และของในแต่ละกลุ่ม = จำนวนของชนิดนั้นหารด้วย ห.ร.ม.
• โจทย์ตัดของเป็นชิ้นยาวเท่ากันและยาวที่สุด: ความยาวแต่ละชิ้น = ห.ร.ม. ของความยาวทุกเส้น แล้วนำไปหาว่าได้ทั้งหมดกี่ชิ้น
• โจทย์ปูกระเบื้องหรือตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ที่สุด: ความยาวด้าน = ห.ร.ม. ของความกว้างกับความยาว แล้วจำนวนแผ่น = (กว้าง $\div$ ด้าน) $\times$ (ยาว $\div$ ด้าน)
• ต้องตอบให้ตรงคำถามว่าโจทย์ถาม «จำนวนกลุ่ม» หรือ «ของในแต่ละกลุ่ม» — สองค่านี้ใช้ ห.ร.ม. ทั้งคู่แต่อยู่คนละขั้น
• ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ: ของในแต่ละกลุ่ม $\times$ จำนวนกลุ่ม ต้องเท่ากับของทั้งหมด

ตัวอย่างและวิธีคิด

• แบ่งผลไม้ใส่ถุงให้ได้ถุงมากที่สุด — แม่มีส้ม 24 ผล กับแอปเปิล 36 ผล ต้องการแบ่งใส่ถุงให้ได้ถุงมากที่สุด และทุกถุงมีผลไม้เท่ากัน → $24 = 2^3 \times 3$ และ $36 = 2^2 \times 3^2$ → ห.ร.ม. $= 2^2 \times 3 = 12$ → แบ่งได้ 12 ถุง ถุงละส้ม $24 \div 12 = 2$ ผล และแอปเปิล $36 \div 12 = 3$ ผล
• ตัดไม้เป็นท่อนยาวเท่ากันและยาวที่สุด — ไม้ 3 ท่อนยาว 18, 24 และ 30 เซนติเมตร ตัดเป็นท่อนสั้นยาวเท่ากันทุกท่อนและยาวที่สุด → ตั้งหารสั้นด้วย 2 ได้ 9, 12, 15 → หารด้วย 3 ได้ 3, 4, 5 หยุด → ห.ร.ม. $= 2 \times 3 = 6$ → ตัดได้ท่อนละ 6 เซนติเมตร รวม $3 + 4 + 5 = 12$ ท่อน
• ปูกระเบื้องให้ได้แผ่นใหญ่ที่สุด — ห้องกว้าง 320 เซนติเมตร ยาว 240 เซนติเมตร ปูด้วยกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดและไม่ต้องตัด → ห.ร.ม. ของ 320 และ 240 คือ 80 → กระเบื้องด้าน 80 เซนติเมตร ใช้จำนวน $(320 \div 80) \times (240 \div 80) = 4 \times 3 = 12$ แผ่น
• ตรวจคำตอบย้อนกลับ — กระเบื้อง 12 แผ่น แผ่นละ $80 \times 80$ ตารางเซนติเมตร รวมพื้นที่เท่ากับ $12 \times 6{,}400 = 76{,}800$ ตารางเซนติเมตร และพื้นที่ห้องคือ $320 \times 240 = 76{,}800$ ตรงกัน

องค์ความรู้

• โจทย์ที่ใช้ ค.ร.น. มีคำใบ้ «พร้อมกันอีกครั้ง» · «ครั้งแรก» · «น้อยที่สุด» · «วนซ้ำแล้วบรรจบกัน»
• โจทย์เหตุการณ์เกิดซ้ำเป็นรอบ ๆ เช่น รถออกทุก 8 นาที กับทุก 12 นาที → หา ค.ร.น. ของรอบทั้งสอง แล้วนำเวลาที่เริ่มพร้อมกันมาบวกเข้าไป
• โจทย์ระฆังหรือสัญญาณดังพร้อมกัน: ครั้งต่อไปที่ดังพร้อมกันห่างจากครั้งแรกเท่ากับ ค.ร.น. ของช่วงเวลาทุกตัว
• โจทย์ «จำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย ... ลงตัว» ให้ตอบ ค.ร.น. ตรง ๆ
• โจทย์ที่มีเงื่อนไขเพิ่ม เช่น ต้องมากกว่า $1{,}000$ หรือเหลือเศษ — ให้หา ค.ร.น. ก่อน แล้วจึงหาพหุคูณตัวถัดไปที่ตรงเงื่อนไข
• ตรวจคำตอบด้วยการหารกลับ: คำตอบต้องหารด้วยทุกช่วงเวลาที่โจทย์ให้ลงตัว

ตัวอย่างและวิธีคิด

• รถเมล์สองสายออกพร้อมกันอีกครั้งเมื่อไร — สาย ก ออกทุก 8 นาที สาย ข ออกทุก 12 นาที ถ้าออกพร้อมกันเวลา 8:00 น. → $8 = 2^3$ และ $12 = 2^2 \times 3$ → ค.ร.น. $= 2^3 \times 3 = 24$ → ครั้งต่อไปออกพร้อมกันเวลา 8:24 น.
• ระฆังตีพร้อมกัน — ระฆัง 3 ใบตีทุก 4, 6 และ 10 นาที ถ้าเริ่มตีพร้อมกันเวลา 6:00 น. จะตีพร้อมกันอีกครั้งเมื่อไร → $4 = 2^2$, $6 = 2 \times 3$, $10 = 2 \times 5$ → ค.ร.น. $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$ นาที → ตีพร้อมกันอีกครั้งเวลา 7:00 น.
• โจทย์ที่มีเงื่อนไขเพิ่ม — จำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $1{,}000$ และหารด้วย 12 กับ 18 ลงตัว → ค.ร.น. ของ 12 และ 18 คือ 36 → พหุคูณของ 36: $36 \times 27 = 972$ ยังไม่เกิน และ $36 \times 28 = 1{,}008$ → คำตอบคือ $1{,}008$
• ตรวจคำตอบ — $1{,}008 \div 12 = 84$ และ $1{,}008 \div 18 = 56$ ลงตัวทั้งคู่ และ $1{,}008 > 1{,}000$ ตรงเงื่อนไข

ภาพและไดอะแกรม

timeline
    title รถเมล์สาย ก ทุก 8 นาที กับสาย ข ทุก 12 นาที
    0 นาที : ออกพร้อมกันครั้งแรก
    8 นาที : สาย ก ออก
    12 นาที : สาย ข ออก
    16 นาที : สาย ก ออก
    24 นาที : ออกพร้อมกันอีกครั้ง = ค.ร.น. ของ 8 กับ 12

คำบรรยายภาพ: ผังเส้นเวลาการออกรถสองสาย สาย ก ออกทุก 8 นาที และสาย ข ออกทุก 12 นาที ทั้งสองสายออกพร้อมกันที่เวลาเริ่มต้น และมาบรรจบพร้อมกันอีกครั้งที่ 24 นาที ซึ่งคือ ค.ร.น. ของ 8 กับ 12

คำบรรยายภาพ: ภาพเส้นเวลาสองเส้น เส้นบนมีจุดทุก 8 นาที เส้นล่างมีจุดทุก 12 นาที จุดที่ตรงกันคือ 0 นาที ซึ่งเป็นครั้งแรก และ 24 นาที ซึ่งเป็นครั้งต่อไปที่ออกพร้อมกัน แสดงว่าคำตอบมาจาก ค.ร.น. ของ 8 กับ 12

องค์ความรู้

• ขั้นตอนแก้โจทย์ 4 ขั้น: อ่านให้จบและดูว่าถามอะไรกับหน่วยอะไร → ตัดสินว่าใช้ ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. จากคำใบ้ → คำนวณ → ตรวจคำตอบกับสถานการณ์จริง
• คำใบ้ชี้ไปที่ ห.ร.ม. — «แบ่งให้ได้กลุ่มมากที่สุด» «เท่ากันทุกกลุ่ม» «ชิ้นยาวที่สุดเท่ากัน» «แผ่นใหญ่ที่สุด» «จำนวนที่มากที่สุดที่หารทุกจำนวนลงตัว»
• คำใบ้ชี้ไปที่ ค.ร.น. — «พร้อมกันอีกครั้ง» «ครั้งแรกที่เจอกัน» «น้อยที่สุดที่หารด้วยทุกจำนวนลงตัว» «หมดพร้อมกัน»
• ตัวช่วยตัดสินเร็ว: โจทย์ที่คำตอบต้อง เล็กกว่าหรือเท่ากับ จำนวนที่ให้มา มักเป็น ห.ร.ม. · โจทย์ที่คำตอบต้อง มากกว่าหรือเท่ากับ จำนวนที่ให้มา มักเป็น ค.ร.น.
• โจทย์ที่ให้ «แบ่งของที่มีอยู่ให้หมดพอดี» แต่ไม่บอกว่าต้องได้กี่กลุ่ม → ดูว่าถามจำนวนกลุ่ม (ห.ร.ม.) หรือถามจำนวนรอบ/จำนวนชิ้นต่อกลุ่ม
• ถ้ามีเงื่อนไขเพิ่ม ให้หาค่า ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ให้เสร็จก่อน แล้วจึงปรับค่าตามเงื่อนไขในขั้นสุดท้าย

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ตัวอย่างฝั่ง ห.ร.ม. — «มีริบบิ้นยาว 36 และ 48 เซนติเมตร ต้องการตัดเป็นเส้นสั้นยาวเท่ากันและยาวที่สุด» → คำว่า «ยาวที่สุดเท่ากัน» ชี้ว่าใช้ ห.ร.ม. ของ 36 กับ 48 = 12 เซนติเมตร
• ตัวอย่างฝั่ง ค.ร.น. — «นาฬิกาปลุกดังทุก 15 นาที และทุก 20 นาที ถ้าดังพร้อมกันตอน 6:00 น. จะดังพร้อมกันอีกครั้งเมื่อไร» → คำว่า «พร้อมกันอีกครั้ง» ชี้ว่าใช้ ค.ร.น. ของ 15 กับ 20 = 60 นาที จึงดังพร้อมกันอีกครั้งเวลา 7:00 น.
• คู่โจทย์ที่หน้าตาคล้ายกันแต่ใช้คนละเรื่อง — «จัดนักเรียน 18 และ 24 คน เป็นกลุ่มเท่า ๆ กันให้ได้กลุ่มมากที่สุด» = ห.ร.ม. (ได้ 6 กลุ่ม) · «ไฟกะพริบดวงหนึ่งทุก ๆ 18 วินาที อีกดวงหนึ่งทุก ๆ 24 วินาที เริ่มกะพริบพร้อมกัน จะกะพริบพร้อมกันอีกครั้งเมื่อไร» = ค.ร.น. (ได้ 72 วินาที)
• ตรวจคำตอบกับความเป็นจริง — ห.ร.ม. ต้องไม่เกินจำนวนที่น้อยที่สุดในโจทย์ และ ค.ร.น. ต้องไม่น้อยกว่าจำนวนที่มากที่สุดในโจทย์ ถ้าผลออกมาขัดกับข้อนี้ให้กลับไปตรวจใหม่

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A[อ่านโจทย์ให้จบ ถามว่าโจทย์หาอะไร หน่วยอะไร] --> B{คำใบ้ในโจทย์พูดว่าอย่างไร}
    B -->|มากที่สุด เท่ากันทุกกลุ่ม ยาวที่สุด| C[ใช้ ห.ร.ม.]
    B -->|พร้อมกันอีกครั้ง ครั้งแรก น้อยที่สุด| D[ใช้ ค.ร.น.]
    C --> E[แยกตัวประกอบหรือตั้งหารสั้น]
    D --> E
    E --> F{มีเงื่อนไขเพิ่มหรือไม่}
    F -->|มี| G[ปรับค่าตามเงื่อนไข เช่น หาพหุคูณถัดไป หรือบวกเศษ]
    F -->|ไม่มี| H[ตรวจคำตอบกับสถานการณ์จริง]
    G --> H
    H --> I[ตอบพร้อมหน่วยให้ตรงกับที่โจทย์ถาม]

คำบรรยายภาพ: ผังการตัดสินใจแก้โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เริ่มจากอ่านโจทย์แล้วดูคำใบ้ ถ้าโจทย์พูดถึง «มากที่สุด» หรือ «เท่ากันทุกกลุ่ม» ให้ใช้ ห.ร.ม. แต่ถ้าพูดถึง «พร้อมกันอีกครั้ง» หรือ «น้อยที่สุด» ให้ใช้ ค.ร.น. จากนั้นจึงคำนวณ ตรวจว่ามีเงื่อนไขเพิ่มหรือไม่ แล้วตรวจคำตอบกับสถานการณ์จริงก่อนตอบพร้อมหน่วย

คำในโจทย์	เรื่องที่ใช้	ตัวอย่างสถานการณ์
มากที่สุด · เท่ากันทุกกลุ่ม	ห.ร.ม.	แบ่งผลไม้ใส่ถุงให้ได้ถุงมากที่สุด
ยาวที่สุดเท่ากัน	ห.ร.ม.	ตัดริบบิ้นเป็นเส้นสั้นยาวเท่ากัน
ใหญ่ที่สุด · ไม่ต้องตัด	ห.ร.ม.	ปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้ใหญ่ที่สุด
พร้อมกันอีกครั้ง	ค.ร.น.	รถเมล์สองสายออกพร้อมกันอีกครั้ง
ครั้งแรก · น้อยที่สุด	ค.ร.น.	ระฆังตีพร้อมกันครั้งต่อไป

คำบรรยายภาพ: ตารางเทียบคำใบ้ในโจทย์กับเรื่องที่ต้องใช้ โดยคำว่า «มากที่สุด» «เท่ากันทุกกลุ่ม» «ยาวที่สุดเท่ากัน» และ «ใหญ่ที่สุด» ชี้ว่าใช้ ห.ร.ม. ส่วนคำว่า «พร้อมกันอีกครั้ง» «ครั้งแรก» และ «น้อยที่สุด» ชี้ว่าใช้ ค.ร.น.