รูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และพื้นที่

องค์ความรู้

• รูปสามเหลี่ยม คือรูปเรขาคณิตที่ปิดล้อมด้วยส่วนของเส้นตรง 3 ด้าน มีมุม 3 มุม และมีจุดยอด 3 จุด
• จำแนกตามความยาวของด้าน — ด้านเท่า ด้านทั้งสามยาวเท่ากัน มุมทั้งสามจึงเท่ากันด้วย (มุมละ $60^\circ$) · หน้าจั่ว มีด้านยาวเท่ากัน 2 ด้าน ด้านที่เหลือเรียกว่า ฐาน และมุมที่ฐานทั้งสองเท่ากัน · ด้านไม่เท่า ด้านทั้งสามยาวไม่เท่ากันเลย
• จำแนกตามขนาดของมุม — มุมแหลม มุมทุกมุมเล็กกว่า $90^\circ$ · มุมฉาก มีมุม $90^\circ$ อยู่ 1 มุม และด้านตรงข้ามมุมฉากยาวที่สุด · มุมป้าน มีมุมใหญ่กว่า $90^\circ$ อยู่ 1 มุม และด้านตรงข้ามมุมป้านยาวที่สุด
• สมบัติที่ใช้บ่อยที่สุด: ผลบวกของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ $180^\circ$ เสมอ จึงหามุมที่เหลือได้ด้วยการลบมุมที่รู้แล้วออกจาก $180^\circ$
• ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมใหญ่จะยาวกว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมเล็กเสมอ — ใช้เดาชนิดของรูปได้เร็วขึ้นแม้โจทย์ไม่บอกความยาวด้าน
• รูปหนึ่งรูปถูกจัดเข้า ทั้งกลุ่มด้านและกลุ่มมุมพร้อมกันได้ เช่น ด้านเท่าเป็นมุมแหลมเสมอ (มุมละ $60^\circ$) ส่วนหน้าจั่วอาจเป็นมุมฉากก็ได้ (ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตัดตามเส้นทแยงมุม)
• เงื่อนไขการสร้างรูปสามเหลี่ยม: ผลบวกของด้านสั้น 2 ด้านต้อง มากกว่า ด้านที่ยาวที่สุด ถ้าน้อยกว่าหรือเท่ากันจะปิดรูปไม่ลง · เครื่องมือที่ใช้คือ ไม้บรรทัด ไม้โปรแทรกเตอร์ และวงเวียน (กางเท่ารัศมีแล้วเขียนส่วนโค้ง หาจุดยอดที่สามจากจุดตัดของส่วนโค้ง)
• การจำแนกต้องดู สมบัติของรูป ไม่ใช่ท่าทางที่วางไว้ — หมุนหรือเอียงรูปแล้วชนิดของรูปยังเหมือนเดิม

ชนิด	เกณฑ์ที่ใช้ดู	สมบัติที่ตามมา
ด้านเท่า	ด้าน 3 ด้านยาวเท่ากัน	มุมละ $60^\circ$ · มีแกนสมมาตร 3 เส้น
หน้าจั่ว	ด้านยาวเท่ากัน 2 ด้าน	มุมที่ฐาน 2 มุมเท่ากัน · มีแกนสมมาตร 1 เส้น
ด้านไม่เท่า	ด้าน 3 ด้านยาวต่างกันทั้งหมด	มุม 3 มุมขนาดต่างกัน
มุมแหลม	มุมทุกมุมเล็กกว่า $90^\circ$	ด้านทุกด้านอาจเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้
มุมฉาก	มีมุม $90^\circ$ 1 มุม	มุมอีก 2 มุมรวมกันได้ $90^\circ$
มุมป้าน	มีมุมใหญ่กว่า $90^\circ$ 1 มุม	มุมอีก 2 มุมรวมกันน้อยกว่า $90^\circ$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• มีมุม $50^\circ$, $60^\circ$ และ $70^\circ$ เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด — มุมทั้งสามเล็กกว่า $90^\circ$ ทุกมุม จึงเป็น สามเหลี่ยมมุมแหลม และด้านทั้งสามยาวไม่เท่ากัน จึงเป็นด้านไม่เท่าด้วย
• รูปหนึ่งมีมุม $90^\circ$ และ $40^\circ$ อีกมุมหนึ่งเท่าไร — มุมที่สาม $= 180^\circ - (90^\circ + 40^\circ) = 50^\circ$ เมื่อมีมุม $90^\circ$ อยู่ 1 มุม จึงเป็น สามเหลี่ยมมุมฉาก
• ด้านยาว $6$, $6$ และ $9$ เซนติเมตร — มีด้านยาวเท่ากัน 2 ด้าน จึงเป็น สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (ด้าน $9$ เซนติเมตรคือฐาน มีมุมที่ฐาน 2 มุมเท่ากัน)
• มุม $100^\circ$, $40^\circ$ และ $40^\circ$ — มีมุมป้าน 1 มุม และมีมุมเท่ากัน 2 มุม จึงเป็น หน้าจั่ว และเป็นมุมป้าน
• ด้านยาว $3$, $4$ และ $8$ เซนติเมตร สร้างสามเหลี่ยมได้ไหม — ไม่ได้ เพราะ $3 + 4 = 7$ น้อยกว่า $8$ ส่วนโค้งทั้งสองไม่บรรจบกัน ปิดรูปไม่ลง
• สร้างสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $6$ เซนติเมตร และมุมที่ปลายด้านทั้งสองข้างเท่ากับ $60^\circ$ — ลากฐาน $6$ เซนติเมตร วัดมุม $60^\circ$ ที่ปลายทั้งสองข้าง ลากเส้นจนตัดกัน มุมที่สาม $= 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$ จึงได้สามเหลี่ยมด้านเท่า

ภาพและไดอะแกรม

mindmap
  root((รูปสามเหลี่ยม))
    ตามความยาวของด้าน
      ด้านเท่า
      หน้าจั่ว
      ด้านไม่เท่า
    ตามขนาดของมุม
      มุมแหลม
      มุมฉาก
      มุมป้าน
    สมบัติที่ใช้บ่อย
      มุมภายในรวมกันได้ 180 องศา
      ด้านตรงข้ามมุมใหญ่ยาวที่สุด
      ด้านสั้นสองด้านรวมกันต้องมากกว่าด้านยาวสุด

คำบรรยายภาพ: แผนภาพความคิดสรุปการจำแนกรูปสามเหลี่ยม แบ่งเป็น 3 กลุ่มหลัก คือ จำแนกตามความยาวของด้าน (ด้านเท่า หน้าจั่ว ด้านไม่เท่า) จำแนกตามขนาดของมุม (มุมแหลม มุมฉาก มุมป้าน) และสมบัติที่ใช้บ่อย ได้แก่ มุมภายในรวมกันได้ 180 องศา ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมใหญ่ยาวที่สุด และการสร้างรูปได้ต้องให้ด้านสั้นสองด้านรวมกันมากกว่าด้านยาวสุด

องค์ความรู้

• รูปสี่เหลี่ยม คือรูปที่ปิดล้อมด้วยส่วนของเส้นตรง 4 ด้าน มีมุม 4 มุม และมีจุดยอด 4 จุด
• ผลบวกของมุมภายในรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ $360^\circ$ — ใช้หามุมที่หายไปได้ และต่างจากรูปสามเหลี่ยมที่ใช้ $180^\circ$
• สี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านทั้ง 4 ยาวเท่ากัน และมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก · สี่เหลี่ยมผืนผ้า มุมทุกมุมเป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน
• สี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามขนานกันและยาวเท่ากัน มุมตรงข้ามเท่ากัน — ถ้ามุมทุกมุมเป็นมุมฉากจะเรียก สี่เหลี่ยมผืนผ้า · สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านทั้ง 4 ยาวเท่ากัน ด้านตรงข้ามขนานกัน — ถ้ามุมทุกมุมเป็นมุมฉากจะเรียก สี่เหลี่ยมจัตุรัส
• สี่เหลี่ยมคางหมู มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว · สี่เหลี่ยมรูปว่าว มีด้านประชิดยาวเท่ากัน 2 คู่ แต่ด้านตรงข้ามไม่ขนานกัน
• ความสัมพันธ์ที่ต้องเข้าใจ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นทั้งสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนมเปียกปูน และด้านขนาน เพราะมีสมบัติครบทุกข้อ — แต่สี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่ใช่ขนมเปียกปูนในทางกลับกัน
• เส้นทแยงมุม คือส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกัน ในสี่เหลี่ยมด้านขนานเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ส่วนสี่เหลี่ยมรูปว่าวกับขนมเปียกปูนเส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก
• สี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานคู่หนึ่ง มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันของด้านที่เหลือจะรวมกันได้ $180^\circ$

ชนิด	ด้าน	มุม	จุดที่ต้องสังเกต
จัตุรัส	เท่ากันทั้ง 4 ด้าน	ฉากทุกมุม	มีแกนสมมาตร 4 เส้น · เส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน
ผืนผ้า	ด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน	ฉากทุกมุม	มีแกนสมมาตร 2 เส้น · เส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน
ด้านขนาน	ด้านตรงข้ามเท่าและขนานกัน	มุมตรงข้ามเท่ากัน	ถ้ามุมฉากทุกมุมจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า · เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งกัน
ขนมเปียกปูน	เท่ากันทั้ง 4 ด้าน	มุมตรงข้ามเท่ากัน	ด้านตรงข้ามขนาน · เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก
คางหมู	มีด้านขนานคู่เดียว	มุมข้างด้านเดียวกันรวมได้ $180^\circ$	ความสูงตั้งฉากกับด้านคู่ขนาน
รูปว่าว	ด้านประชิดเท่ากัน 2 คู่	มุมตรงข้ามคู่หนึ่งเท่ากัน	เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างและวิธีคิด

• รูปหนึ่งมีด้านตรงข้ามขนานกันและยาวเท่ากัน แต่มุมไม่ใช่ฉาก — เป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน
• สี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $7$ เซนติเมตร — มุมทุกมุมเป็น $90^\circ$ และมุมภายในรวมกัน $90^\circ \times 4 = 360^\circ$ ตรงตามสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม
• สี่เหลี่ยมคางหมูมีด้านคู่ขนานยาว $8$ เซนติเมตร กับ $12$ เซนติเมตร และมุมที่ปลายด้านหนึ่งเป็น $70^\circ$ มุมที่อยู่ข้างเดียวกันกับด้านที่เหลืออีกปลายเท่าไร — มุมภายในข้างเดียวกันของด้านที่เหลือรวมกันได้ $180^\circ$ จึงได้ $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$
• สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม $100^\circ$, $80^\circ$ และ $90^\circ$ อีกมุมหนึ่งเท่าไร — มุมที่สี่ $= 360^\circ - (100^\circ + 80^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$ จึงมีมุมฉากอยู่ด้วย 1 มุม
• รูปว่าวกับขนมเปียกปูนต่างกันอย่างไร — ขนมเปียกปูนมีด้านทั้ง 4 ยาวเท่ากันและด้านตรงข้ามขนานกัน ส่วนรูปว่าวมีแค่ด้านประชิดที่ยาวเท่ากัน 2 คู่ ด้านตรงข้ามไม่ขนานกัน

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["รูปสี่เหลี่ยม<br/>มุมภายในรวม 360 องศา"] --> B{"มีมุมฉากทุกมุมหรือไม่"}
    B -- "มี" --> C{"ด้านทั้ง 4 ยาวเท่ากันหรือไม่"}
    C -- "เท่ากัน" --> D["สี่เหลี่ยมจัตุรัส"]
    C -- "ไม่เท่า" --> E["สี่เหลี่ยมผืนผ้า"]
    B -- "ไม่มี" --> F{"มีด้านขนานกี่คู่"}
    F -- "2 คู่" --> G{"ด้านทั้ง 4 ยาวเท่ากันหรือไม่"}
    G -- "เท่ากัน" --> H["สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน"]
    G -- "ไม่เท่า" --> I["สี่เหลี่ยมด้านขนาน"]
    F -- "1 คู่" --> J["สี่เหลี่ยมคางหมู"]
    F -- "ไม่มีเลย" --> K["สี่เหลี่ยมรูปว่าว"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังจำแนกรูปสี่เหลี่ยม เริ่มจากดูว่ามีมุมฉากทุกมุมหรือไม่ ถ้ามีและด้านทั้งสี่เท่ากันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้าด้านไม่เท่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถ้าไม่มีมุมฉากให้ดูจำนวนคู่ของด้านขนาน มีสองคู่และด้านทั้งสี่เท่ากันเป็นขนมเปียกปูน มีสองคู่แต่ด้านไม่เท่าเป็นด้านขนาน มีคู่เดียวเป็นคางหมู และไม่มีด้านขนานเลยเป็นรูปว่าว

องค์ความรู้

• พื้นที่ คือขนาดของผิวที่อยู่ภายในขอบของรูป หน่วยจึงเป็น ตารางหน่วย เช่น ตารางเซนติเมตร (ตร.ซม.) และตารางเมตร (ตร.ม.)
• ความสูงของรูป คือระยะที่ ตั้งฉาก กับฐาน ไม่ใช่ความยาวของด้านเอียง — ถ้าใช้ด้านเอียงแทนความสูง พื้นที่จะมากกว่าความจริง
• สูตรพื้นที่ที่ต้องใช้คล่อง
  • สี่เหลี่ยมจัตุรัส $=$ ด้าน $\times$ ด้าน
  • สี่เหลี่ยมผืนผ้า $=$ กว้าง $\times$ ยาว
  • สี่เหลี่ยมด้านขนาน $=$ ฐาน $\times$ สูง
  • สี่เหลี่ยมคางหมู $= \frac{1}{2} \times (\text{ผลบวกของด้านคู่ขนาน}) \times \text{สูง}$
  • รูปสามเหลี่ยม $= \frac{1}{2} \times \text{ฐาน} \times \text{สูง}$ (ฐานคูณสูงแล้วหารสอง)
  • สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือรูปว่าว $= \frac{1}{2} \times (\text{ผลคูณของเส้นทแยงมุมทั้งสอง})$
• รูปที่ไม่ใช่รูปพื้นฐาน ให้ แบ่งเป็นรูปย่อย ที่หาพื้นที่ได้ แล้วบวกพื้นที่เข้าด้วยกัน
• หน่วยพื้นที่สำคัญ: $1$ ตร.ม. $= 10{,}000$ ตร.ซม. (ด้านละ $100$ ซม. จึงเป็น $100 \times 100$) · $1$ ตร.กม. $= 1{,}000{,}000$ ตร.ม.
• โจทย์ที่ให้ด้านต่างหน่วยกัน (เมตรปนเซนติเมตร) ต้องแปลงให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อนเข้าสูตรเสมอ

ตัวอย่างและวิธีคิด

• สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $12$ ซม. ยาว $25$ ซม. พื้นที่เท่าไร — $12 \times 25 = 300$ ตร.ซม.
• รูปสามเหลี่ยมฐานยาว $12$ ซม. สูง $9$ ซม. — $\frac{1}{2} \times 12 \times 9$ คิดเป็น $12 \times 9 = 108$ แล้วหารสอง ได้ $54$ ตร.ซม.
• ด้านขนานฐาน $10$ ซม. สูง $6$ ซม. และคางหมูที่มีด้านคู่ขนาน $8$ ซม. กับ $12$ ซม. สูง $5$ ซม. — ด้านขนานได้ $10 \times 6 = 60$ ตร.ซม. · คางหมูได้ $\frac{1}{2} \times (8 + 12) \times 5 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50$ ตร.ซม.
• รูปตัว L กว้าง $12$ ซม. ยาว $8$ ซม. และมีมุมที่ถูกตัดออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า $5$ ซม. $\times$ $4$ ซม. พื้นที่เท่าไร — หาแบบลบเร็วที่สุด: $12 \times 8 - 5 \times 4 = 96 - 20 = 76$ ตร.ซม. · ตรวจซ้ำด้วยวิธีแบ่งเป็นสองรูป: $12 \times 4 + 7 \times 4 = 48 + 28 = 76$ ตร.ซม. เท่ากัน
• กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านละ $30$ ซม. ปูพื้นห้อง $4.5$ ตร.ม. ต้องใช้กี่แผ่น — พื้นที่กระเบื้อง $1$ แผ่น $= 30 \times 30 = 900$ ตร.ซม. · แปลงพื้นที่ห้องเป็นตร.ซม. ได้ $4.5 \times 10{,}000 = 45{,}000$ ตร.ซม. · ต้องใช้ $45{,}000 \div 900 = 50$ แผ่น
• ขนมเปียกปูนมีเส้นทแยงมุมยาว $6$ ซม. และ $8$ ซม. — $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ ตร.ซม.

ภาพและไดอะแกรม

รูป	สูตรพื้นที่	สิ่งที่ต้องระวัง
สี่เหลี่ยมจัตุรัส	ด้าน $\times$ ด้าน	ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
สี่เหลี่ยมผืนผ้า	กว้าง $\times$ ยาว	ใช้ด้านที่ตั้งฉากกัน ไม่ใช่ด้านทแยง
สี่เหลี่ยมด้านขนาน	ฐาน $\times$ สูง	สูงต้องตั้งฉากกับฐาน ไม่ใช่ด้านเอียง
สี่เหลี่ยมคางหมู	$\frac{1}{2} \times$ ผลบวกด้านคู่ขนาน $\times$ สูง	บวกด้านคู่ขนานก่อน แล้วจึงคูณสูง
รูปสามเหลี่ยม	$\frac{1}{2} \times$ ฐาน $\times$ สูง	สามเหลี่ยมมุมป้านความสูงอาจอยู่นอกรูป
รูปว่าว · ขนมเปียกปูน	$\frac{1}{2} \times$ ผลคูณเส้นทแยงมุม	ใช้เส้นทแยงมุม ไม่ใช่ด้าน

คำบรรยายภาพ: ตารางสรุปสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมแต่ละชนิด พร้อมช่องเตือนข้อผิดพลาดที่พบบ่อย เช่น ความสูงต้องตั้งฉากกับฐาน ไม่ใช้ด้านเอียง และรูปว่าวกับขนมเปียกปูนใช้เส้นทแยงมุมทั้งสองมาคูณกันแล้วหารสอง

องค์ความรู้

• ความยาวรอบรูป คือระยะทางที่เดินไปตามขอบของรูปหนึ่งรอบ หาได้ด้วย บวกความยาวด้านทุกด้านเข้าด้วยกัน หน่วยเป็นหน่วยความยาว เช่น ซม. หรือ ม.
• สูตรลัดของรูปที่คุ้นเคย: สี่เหลี่ยมผืนผ้า $= 2 \times (\text{กว้าง} + \text{ยาว})$ · สี่เหลี่ยมจัตุรัส $= 4 \times \text{ด้าน}$ · รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มี $n$ ด้าน $= n \times \text{ด้าน}$
• รูปหลายเหลี่ยมด้านไม่เท่า ต้องบวกด้านทุกด้าน อย่าลืมนับด้านให้ครบตามชื่อรูป (ห้าเหลี่ยมมี $5$ ด้าน หกเหลี่ยมมี $6$ ด้าน)
• ถ้าด้านที่โจทย์ให้มาอยู่คนละหน่วย ต้อง แปลงหน่วยให้ตรงกันก่อนบวก
• พื้นที่เท่ากันไม่ได้แปลว่ารอบรูปเท่ากัน — สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $6$ ซม. มีพื้นที่ $36$ ตร.ซม. และรอบรูป $24$ ซม. ส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้า $4 \times 9$ ซม. ก็มีพื้นที่ $36$ ตร.ซม. เท่ากัน แต่รอบรูป $26$ ซม. มากกว่า
• ระวังรูปที่มีด้านเว้าเข้าไป — เส้นที่อยู่ด้านในรูปไม่ใช่ขอบรูป จึงไม่นับรวมในความยาวรอบรูป

ตัวอย่างและวิธีคิด

• สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $12$ ซม. ยาว $25$ ซม. — $2 \times (12 + 25) = 2 \times 37 = 74$ ซม.
• สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านละ $9$ ซม. — $4 \times 9 = 36$ ซม.
• รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ด้านละ $6$ ซม. — $5 \times 6 = 30$ ซม.
• รูปห้าเหลี่ยมด้านไม่เท่า ยาว $4$, $6$, $5$, $7$ และ $8$ ซม. — บวกทุกด้าน $4 + 6 + 5 + 7 + 8 = 30$ ซม.
• ต้องการล้อมรั้วรอบที่ดินผืนสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $20$ ม. ยาว $35$ ม. ต้องใช้ลวดรั้วกี่เมตร — $2 \times (20 + 35) = 2 \times 55 = 110$ ม. ถ้าล้อม 2 รอบก็ใช้ $110 \times 2 = 220$ ม.
• ด้านยาว $2.5$ ซม. สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีรอบรูปเท่าไร — $4 \times 2.5 = 10$ ซม.

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["โจทย์ถามความยาวรอบรูป"] --> B{"รูปอะไร"}
    B -- "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" --> C["4 คูณด้าน"]
    B -- "สี่เหลี่ยมผืนผ้า" --> D["2 คูณ ผลบวกของกว้างกับยาว"]
    B -- "ด้านเท่าทุกด้าน" --> E["จำนวนด้าน คูณ ด้าน"]
    B -- "ด้านไม่เท่า" --> F["บวกความยาวด้านทุกด้าน"]
    C --> G["แปลงหน่วยให้ตรงกันก่อนบวก<br/>ตอบเป็น ซม. หรือ ม."]
    D --> G
    E --> G
    F --> G

คำบรรยายภาพ: แผนผังการหาความยาวรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม เลือกสูตรตามชนิดของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสใช้สี่คูณด้าน สี่เหลี่ยมผืนผ้าใช้สองคูณผลบวกของกว้างกับยาว รูปด้านเท่าใช้จำนวนด้านคูณด้าน รูปด้านไม่เท่าให้บวกทุกด้าน แล้วตรวจว่าแปลงหน่วยให้ตรงกันก่อนบวก และคำตอบต้องเป็นหน่วยความยาว

องค์ความรู้

• หลักคิดของพื้นที่ส่วนที่แรเงา คือ พื้นที่รูปใหญ่ลบพื้นที่รูปที่ตัดออก ไม่ต้องมีสูตรใหม่ — ใช้สูตรพื้นที่รูปเดิมและลบกัน
• พื้นที่รูปที่ตัดออก อาจเป็นรูปในรูป (เจาะรู) หรือรูปที่วางต่อกันเป็นมุม แล้วแต่ภาพ
• พื้นที่รูปซ้อนทับ หาได้จาก «พื้นที่รวม = พื้นที่รูป $A$ + พื้นที่รูป $B$ − พื้นที่ที่ซ้อนทับกัน» คือบวกพื้นที่ทั้งสองรูปก่อน แล้วลบส่วนที่ซ้อนกันออกหนึ่งครั้ง
• ถ้าซ้อนกันมากกว่า 2 รูป ให้หาพื้นที่รวมของทุกชิ้นก่อน แล้วค่อยลบส่วนที่ถูกนับซ้ำ
• ขั้นตอนคิดโจทย์แรเงา
  1. ระบุว่ารูปที่ระบายคือส่วนไหน และรูปที่ต้องใช้หักออกคือรูปใด
  2. หาพื้นที่แต่ละรูปให้ครบก่อน (บางข้อต้องใช้สูตรหลายสูตรในข้อเดียว)
  3. บวกหรือลบตามภาพ แล้วตรวจหน่วยของคำตอบว่าเป็นตารางหน่วย
  4. ตรวจด้วยการกะสายตา — ส่วนที่แรเงาต้องเล็กกว่ารูปใหญ่เสมอ
• โจทย์ประเภทนี้มักผสมรูปตั้งแต่สองชนิดขึ้นไป เช่น สี่เหลี่ยมผืนผ้ากับรูปสามเหลี่ยม หรือรูปสี่เหลี่ยมกับรูปวงกลม (ดู math-circle.md สำหรับพื้นที่วงกลม)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• สี่เหลี่ยมผืนผ้า $15$ ซม. $\times$ $10$ ซม. มีรูปสามเหลี่ยมฐาน $6$ ซม. สูง $5$ ซม. เจาะอยู่ข้างใน จงหาพื้นที่ส่วนที่เหลือ — พื้นที่ผืนผ้า $= 15 \times 10 = 150$ ตร.ซม. · พื้นที่สามเหลี่ยม $= \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$ ตร.ซม. · ส่วนที่เหลือ $= 150 - 15 = 135$ ตร.ซม.
• สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $14$ ซม. มีวงกลมรัศมี $7$ ซม. อยู่ข้างใน จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา (ใช้ $\pi = \frac{22}{7}$) — จัตุรัส $= 14 \times 14 = 196$ ตร.ซม. · วงกลม $= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154$ ตร.ซม. · แรเงา $= 196 - 154 = 42$ ตร.ซม.
• รูปสี่เหลี่ยม $A$ พื้นที่ $40$ ตร.ซม. และรูป $B$ พื้นที่ $25$ ตร.ซม. ซ้อนทับกันอยู่ $8$ ตร.ซม. พื้นที่รวมของสองรูปเป็นเท่าไร — $40 + 25 - 8 = 57$ ตร.ซม. (ไม่ใช่ $65$ เพราะส่วนที่ซ้อนถูกนับไปแล้วครั้งหนึ่ง)
• กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $20$ ซม. มีลายวงกลมรัศมี $5$ ซม. เจาะอยู่ตรงกลาง พื้นที่ที่ทาสีเป็นเท่าไร (ใช้ $\pi = 3.14$) — จัตุรัส $= 400$ ตร.ซม. · วงกลม $= 3.14 \times 25 = 78.5$ ตร.ซม. · ทาสี $= 400 - 78.5 = 321.5$ ตร.ซม.
• สวนสี่เหลี่ยมผืนผ้า $20$ ม. $\times$ $12$ ม. มีทางเดินกว้าง $2$ ม. ตัดผ่านตามความยาวของสวน จงหาพื้นที่ที่ปลูกต้นไม้ — พื้นที่สวน $= 20 \times 12 = 240$ ตร.ม. · ทางเดิน $= 2 \times 20 = 40$ ตร.ม. · ปลูกต้นไม้ $= 240 - 40 = 200$ ตร.ม.

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["โจทย์ให้ภาพที่มีส่วนแรเงา"] --> B{"ส่วนแรเงาได้มาอย่างไร"}
    B -- "รูปใหญ่ถูกเจาะหรือตัดออก" --> C["พื้นที่รูปใหญ่ ลบ พื้นที่รูปที่ตัดออก"]
    B -- "มีรูปสองรูปวางซ้อนทับกัน" --> D["พื้นที่รูป A บวก พื้นที่รูป B ลบ พื้นที่ที่ซ้อนทับ"]
    B -- "มีหลายชิ้นต่อกันเป็นรูปใหญ่" --> E["แบ่งเป็นรูปย่อย หาพื้นที่แต่ละรูปแล้วบวกกัน"]
    C --> F["หาพื้นที่ทุกรูปที่เกี่ยวข้องให้ครบก่อน"]
    D --> F
    E --> F
    F --> G["ตรวจว่าเป็นตารางหน่วยและน้อยกว่ารูปใหญ่"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังวิธีคิดโจทย์พื้นที่ส่วนที่แรเงา ถ้าส่วนแรเงาเกิดจากรูปใหญ่ที่ถูกเจาะหรือตัดออก ให้ใช้พื้นที่รูปใหญ่ลบพื้นที่รูปที่ตัดออก ถ้าเป็นรูปสองรูปวางซ้อนทับกัน ให้บวกพื้นที่ทั้งสองรูปแล้วลบพื้นที่ที่ซ้อนกันหนึ่งครั้ง ถ้าเป็นรูปใหญ่ที่ประกอบจากหลายชิ้น ให้แบ่งเป็นรูปย่อยแล้วบวกกัน โดยต้องหาพื้นที่ของทุกส่วนที่เกี่ยวข้องให้ครบก่อนสรุปคำตอบ