ระบบจำนวนเต็ม

องค์ความรู้

• จำนวนเต็ม ประกอบด้วย 3 กลุ่ม คือ จำนวนเต็มบวก $(1, 2, 3, \ldots)$ · ศูนย์ $(0)$ · จำนวนเต็มลบ $(-1, -2, -3, \ldots)$
• ศูนย์ไม่เป็นทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ — เป็นจุดแบ่งกลางระหว่างสองฝั่งบนเส้นจำนวน
• จำนวนเต็ม ไม่รวมเศษส่วนและทศนิยม — $2.5$ และ $\frac{3}{4}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม แต่ $-7$ เป็นจำนวนเต็ม
• จำนวนตรงข้าม ของ $a$ คือ $-a$ ซึ่งอยู่ห่างจาก $0$ เท่ากันแต่อยู่คนละฝั่ง จึงได้ $-(-5) = 5$
• ใช้ในชีวิตจริงบ่อย — อุณหภูมิ $-3$ องศาเซลเซียส · ชั้นใต้ดินชั้น $-2$ · เงินฝากเป็นบวก เงินที่ถอนออกเป็นลบ · ระดับน้ำในเขื่อนต่ำกว่าระดับเป้า

ตัวอย่างและวิธีคิด

• แยกให้ออกว่าอันไหนเป็นจำนวนเต็ม — จาก $-6,\ 0,\ 3.5,\ -12,\ \frac{7}{2}$ จำนวนเต็มคือ $-6,\ 0$ และ $-12$ · ที่เหลือเป็นทศนิยมกับเศษส่วน
• หาจำนวนตรงข้าม — จำนวนตรงข้ามของ $8$ คือ $-8$ · ของ $-3$ คือ $3$ · ของ $0$ คือ $0$ (ศูนย์เป็นจำนวนตรงข้ามของตัวเอง)
• อ่านสถานการณ์จริง — อุณหภูมิตอนเช้า $-4$ องศาเซลเซียส หมายความว่าต่ำกว่าจุดเยือกแข็งอยู่ $4$ องศา ส่วน $+4$ องศาเซลเซียสหมายถึงสูงกว่าจุดเยือกแข็ง $4$ องศา

ภาพและไดอะแกรม

สถานการณ์	ใช้จำนวนเต็มอย่างไร
อุณหภูมิ	สูงกว่า $0$ องศาเซลเซียส เป็นบวก · ต่ำกว่า $0$ องศาเซลเซียส เป็นลบ
ระดับความสูง	สูงกว่าระดับน้ำทะเลเป็นบวก · ใต้ระดับน้ำทะเลเป็นลบ
เงินฝาก–ถอน	ฝากเข้าเป็นบวก · ถอนออกเป็นลบ
อาคาร	ชั้นบนเป็นบวก · ชั้นใต้ดินเป็นลบ (ชั้นล่างสุดคือชั้น $1$ ไม่ใช่ $0$)

คำบรรยายภาพ: ตารางเทียบการใช้จำนวนเต็มในชีวิตจริง อุณหภูมิและระดับความสูงที่ต่ำกว่าจุดอ้างอิงใช้จำนวนลบ เงินฝากเข้าเป็นบวกเงินถอนเป็นลบ และชั้นใต้ดินนับเป็นจำนวนลบโดยชั้นล่างสุดของอาคารยังเป็นชั้น 1 จึงไม่มีชั้น 0

องค์ความรู้

• บนเส้นจำนวน จำนวนที่อยู่ ทางขวาจะมากกว่า จำนวนที่อยู่ทางซ้ายเสมอ — ใช้เป็นหลักตัดสินได้ทุกครั้ง
• ดังนั้นจำนวนเต็มลบทุกจำนวน น้อยกว่า $0$ และ น้อยกว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวน
• ระหว่างจำนวนลบด้วยกัน ยิ่งค่าสัมบูรณ์มาก ค่ายิ่งน้อย เช่น $-8$ น้อยกว่า $-3$ เพราะ $-8$ อยู่ห่างจาก $0$ ไปทางซ้ายมากกว่า
• การเรียงลำดับให้เริ่มจากจำนวนลบที่น้อยที่สุด (ลบมากสุด) ไล่มาถึงจำนวนบวกที่มากที่สุด
• เครื่องหมายที่ต้องใช้: $>$ หมายถึง «มากกว่า» · $<$ หมายถึง «น้อยกว่า» · $=$ หมายถึง «เท่ากัน»

ตัวอย่างและวิธีคิด

• เปรียบเทียบทีละคู่ — $-5$ กับ $-1$ → $-5 < -1$ · $-3$ กับ $0$ → $-3 < 0$ · $-2$ กับ $6$ → $-2 < 6$ · $7$ กับ $7$ → $7 = 7$
• เรียงลำดับจากน้อยไปมาก — จาก $-7,\ 3,\ 0,\ -1,\ 5$ ให้เริ่มจากลบมากสุด: $-7,\ -1,\ 0,\ 3,\ 5$
• เรียงจำนวนลบที่ตัวเลขดู «มาก» — จาก $-12,\ -3,\ -20$ จำนวนที่น้อยที่สุดคือ $-20$ จึงเรียงเป็น $-20,\ -12,\ -3$ (จุดที่เด็กพลาดคือเห็น $20$ โตกว่า $12$ แล้วตอบกลับด้าน)

ภาพและไดอะแกรม

flowchart LR
    A["−4"] --- B["−3"] --- C["−2"] --- D["−1"] --- E["0"] --- F["1"] --- G["2"] --- H["3"]

คำบรรยายภาพ: เส้นจำนวนแสดงจำนวนเต็มเรียงจากซ้ายไปขวา เริ่มจาก −4 ผ่าน −3 −2 −1 ถึง 0 แล้วต่อด้วย 1 2 3 จำนวนที่อยู่ทางขวามีค่ามากกว่าทางซ้ายเสมอ จึงเห็นได้ทันทีว่า −4 น้อยกว่า −1 และจำนวนลบทุกจำนวนน้อยกว่า 0

องค์ความรู้

• เครื่องหมายเดียวกัน ให้บวกค่าสัมบูรณ์เข้าด้วยกัน แล้วตอบด้วยเครื่องหมายเดิม เช่น $(-7) + (-5) = -12$
• ต่างเครื่องหมาย ให้ลบค่าสัมบูรณ์ที่น้อยออกจากค่าที่มาก แล้วตอบด้วยเครื่องหมายของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มาก เช่น $8 + (-13) = -5$
• การลบจำนวนเต็ม คือการบวกด้วยจำนวนตรงข้าม: $a - b = a + (-b)$ — จึงเปลี่ยนโจทย์ลบให้เป็นโจทย์บวกได้เสมอ
• ลบจำนวนลบจะกลายเป็นบวก: $a - (-b) = a + b$ เช่น $5 - (-2) = 5 + 2 = 7$
• วิธีคิดบนเส้นจำนวน — บวกคือเดินไปทางขวา ลบคือเดินไปทางซ้าย และคู่บวก–ลบที่เท่ากันหักล้างกันจนได้ $0$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• เครื่องหมายเดียวกัน — $(-7) + (-5)$ → บวก $7 + 5 = 12$ แล้วตอบลบ → $-12$
• ต่างเครื่องหมาย — $8 + (-13)$ → ค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือ $13$ → $13 - 8 = 5$ → ตอบลบ → $-5$
• ลบจำนวนบวก — $(-6) - 4 = (-6) + (-4) = -10$ (เดินไปทางซ้ายอีก $4$ ช่องจาก $-6$)
• ลบจำนวนลบ — $(-3) - (-8) = (-3) + 8 = 5$ · และ $5 - (-2) = 5 + 2 = 7$
• ตรวจด้วยการหักล้าง — $(-9) + 9 = 0$ เพราะคู่บวก–ลบที่เท่ากันตัดกันหมด

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["โจทย์บวกลบจำนวนเต็ม"] --> B{"เครื่องหมายของสองจำนวน"}
    B -->|"เหมือนกัน"| C["บวกค่าสัมบูรณ์เข้าด้วยกัน<br/>แล้วคงเครื่องหมายเดิม<br/>(−7) + (−5) = −12"]
    B -->|"ต่างกัน"| D["ลบค่าสัมบูรณ์น้อยจากมาก<br/>แล้วใช้เครื่องหมายของจำนวนที่ค่าสัมบูรณ์มาก<br/>8 + (−13) = −5"]
    B -->|"เป็นการลบ"| E["เปลี่ยนเป็นบวกจำนวนตรงข้าม<br/>a − b = a + (−b)"]
    E --> B

คำบรรยายภาพ: แผนผังวิธีบวกลบจำนวนเต็ม แยกตามเครื่องหมายของสองจำนวน ถ้าเครื่องหมายเหมือนกันให้บวกค่าสัมบูรณ์เข้าด้วยกันแล้วคงเครื่องหมายเดิม ถ้าเครื่องหมายต่างกันให้ลบค่าสัมบูรณ์ที่น้อยออกจากค่าที่มากแล้วใช้เครื่องหมายของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มาก และถ้าเป็นโจทย์ลบให้เปลี่ยนเป็นบวกด้วยจำนวนตรงข้ามก่อน แล้วจึงกลับไปใช้กฎสองข้อแรก

องค์ความรู้

• เครื่องหมายเหมือนกันได้ผลบวก — บวกคูณบวกได้บวก · ลบคูณลบได้บวก เช่น $(-3) \times (-5) = 15$
• เครื่องหมายต่างกันได้ผลลบ — เช่น $(-4) \times 6 = -24$ และ $24 \div (-6) = -4$
• กฎเครื่องหมายของการหาร เหมือนกับการคูณทุกข้อ จึงจำครั้งเดียวใช้ได้ทั้งสองเรื่อง
• จำนวนใดคูณกับ $0$ ได้ $0$ เสมอ · $0$ หารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ $0$ · แต่ หารด้วย $0$ หาค่าไม่ได้
• คูณกันหลายจำนวนให้คิดทีละคู่จากซ้ายไปขวา โดยนับจำนวนตัวลบ — ถ้าตัวลบมีจำนวนคี่ ผลลัพธ์เป็นลบ ถ้ามีจำนวนคู่ ผลลัพธ์เป็นบวก

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ต่างเครื่องหมาย — $(-4) \times 6 = -24$ · $24 \div (-6) = -4$ (ค่าสัมบูรณ์คูณหรือหารตามปกติ แล้วเติมเครื่องหมายลบ)
• เหมือนเครื่องหมายเป็นลบ — $(-3) \times (-5) = 15$ · $(-36) \div (-9) = 4$
• คูณสามจำนวน — $(-2) \times (-3) \times (-4)$ → คิดคู่แรก $(-2)(-3) = 6$ → แล้ว $6 \times (-4) = -24$ · นับตัวลบมี $3$ ตัว (จำนวนคี่) จึงได้ผลลบ ตรงกัน
• โจทย์ที่ต้องระวังศูนย์ — $(-25) \times 0 = 0$ · $0 \div 7 = 0$ · $7 \div 0$ หาค่าไม่ได้ จึงไม่ใช่ $0$

ภาพและไดอะแกรม

เครื่องหมายของสองจำนวน	ผลคูณหรือผลหาร	ตัวอย่าง
บวก × บวก	บวก	$6 \times 4 = 24$
บวก × ลบ	ลบ	$6 \times (-4) = -24$
ลบ × บวก	ลบ	$(-6) \times 4 = -24$
ลบ × ลบ	บวก	$(-6) \times (-4) = 24$

คำบรรยายภาพ: ตารางกฎเครื่องหมายของการคูณและการหารจำนวนเต็ม จำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกันคูณหรือหารกันได้ผลบวก ส่วนจำนวนที่เครื่องหมายต่างกันได้ผลลบ และกฎชุดเดียวกันนี้ใช้กับการหารได้ทันทีโดยไม่ต้องจำใหม่

องค์ความรู้

• ค่าสัมบูรณ์ ของจำนวนหนึ่ง คือระยะจาก $0$ ถึงจำนวนนั้นบนเส้นจำนวน เขียนเป็น $|a|$
• ค่าสัมบูรณ์ ไม่มีทางเป็นค่าลบ เพราะระยะทางไม่ติดลบ — $|7| = 7$ · $|-7| = 7$ · $|0| = 0$
• จำนวนตรงข้ามกันมีค่าสัมบูรณ์เท่ากันเสมอ เช่น $|-9| = |9| = 9$
• ค่าสัมบูรณ์ของศูนย์คือศูนย์ (ศูนย์อยู่ที่ศูนย์นั่นเอง)
• ใช้ตอบคำถาม «ห่างจาก $0$ เท่าไร» และใช้คำนวณในโจทย์ที่ต้องคิดทีละขั้น เช่น $|3 - 8| = |-5| = 5$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• หาค่าสัมบูรณ์ตรง ๆ — $|-12| = 12$ · $|12| = 12$ · $|-25| = 25$ · $|0| = 0$
• คำนวณในวงเล็บก่อน — $|3 - 8|$ → คิดในวงเล็บได้ $-5$ → ค่าสัมบูรณ์คือ $5$ (ไม่ใช่ $3 + 8$ หรือ $-5$)
• บวกลบค่าสัมบูรณ์ — $|-4| + |3| = 4 + 3 = 7$ · $8 - |-2| = 8 - 2 = 6$
• โจทย์เปรียบเทียบระยะ — $-5$ กับ $5$ ห่างจาก $0$ เท่ากันคือ $5$ หน่วย แต่ $-5 < 5$ เพราะอยู่คนละฝั่งของ $0$

ภาพและไดอะแกรม

flowchart LR
    A["−5"] --- B["−4"] --- C["−3"] --- D["−2"] --- E["−1"] --- F["0"] --- G["1"] --- H["2"] --- I["3"] --- J["4"] --- K["5"]
    A -.->|"ห่าง 5 หน่วย"| F
    K -.->|"ห่าง 5 หน่วย"| F

คำบรรยายภาพ: เส้นจำนวนแสดงว่าค่าสัมบูรณ์คือระยะห่างจาก 0 โดย −5 อยู่ห่างจาก 0 เท่ากับ 5 หน่วย และ 5 ก็อยู่ห่างจาก 0 เท่ากับ 5 หน่วยเช่นกัน จำนวนที่ตรงข้ามกันจึงมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน แต่ค่าของจำนวนยังต่างกันเพราะอยู่คนละฝั่งของ 0