โจทย์การซื้อขาย กำไร–ขาดทุน ดอกเบี้ย และส่วนลดซ้อน

องค์ความรู้

• ต้นทุน (ราคาทุน) คือราคาที่ซื้อหรือผลิตสินค้ามา · ราคาขาย คือราคาที่ขายออกไป
• กำไร เกิดเมื่อราคาขายมากกว่าต้นทุน: $\text{กำไร} = \text{ราคาขาย} - \text{ต้นทุน}$
• ขาดทุน เกิดเมื่อราคาขายน้อยกว่าต้นทุน: $\text{ขาดทุน} = \text{ต้นทุน} - \text{ราคาขาย}$
• ร้อยละของกำไรหรือขาดทุนคิดเทียบกับต้นทุนเสมอ — ร้อยละกำไร $= \frac{\text{กำไร}}{\text{ต้นทุน}} \times 100$
• เมื่อรู้ต้นทุนและร้อยละกำไร หาราคาขายได้: $\text{ราคาขาย} = \text{ต้นทุน} \times \frac{100 + p}{100}$
• เมื่อรู้ราคาขายและร้อยละกำไร หาต้นทุนได้: $\text{ต้นทุน} = \text{ราคาขาย} \times \frac{100}{100 + p}$ · ถ้าเป็นขาดทุนร้อยละ $q$ ใช้ $\frac{100}{100 - q}$
• วิธีคิดนี้อาศัยหลักเดียวกับโจทย์ร้อยละเพิ่มขึ้น–ลดลง (ดู math-ratio.md หัวข้อ math-ratio-06) หรือคิดด้วยบัญญัติไตรยางศ์ก็ได้

ตัวอย่างและวิธีคิด

• มีกำไร — ซื้อของมาทุน 250 บาท ขายไป 300 บาท → กำไร $= 300 - 250 = 50$ บาท → คิดเป็นร้อยละของทุน $= \frac{50}{250} \times 100 = 20$
• ขาดทุน — ทุน 400 บาท ขายไป 340 บาท → ขาดทุน $= 400 - 340 = 60$ บาท → คิดเป็นร้อยละของทุน $= \frac{60}{400} \times 100 = 15$
• รู้ราคาขายกับร้อยละกำไร หาทุน — ขายสินค้าไป 575 บาท ได้กำไรร้อยละ 15 → ต้นทุน $= 575 \times \frac{100}{115} = 500$ บาท
• ตรวจคำตอบย้อนกลับ — ต้นทุน 500 บาท กำไรร้อยละ 15 คือ $\frac{15}{100} \times 500 = 75$ บาท → ราคาขาย $= 500 + 75 = 575$ บาท ตรงกับโจทย์ ✓

องค์ความรู้

• ราคารวม $=$ จำนวน $\times$ ราคาต่อหน่วย — ถ้าซื้อหลายรายการต้องรวมทุกรายการก่อนคิดเงินทอน
• เงินทอน $=$ เงินที่จ่ายไป $-$ ราคารวมของที่ซื้อ · ถ้าเงินที่จ่ายน้อยกว่าราคารวม ต้องบอกว่าขาดอีกเท่าไร
• เรื่องเงินให้ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่งเสมอ เช่น $19.00$ บาท และเขียนหน่วย «บาท» กำกับ
• วิธีคิดเป็นขั้น: หาราคารวมของแต่ละรายการ → รวมทั้งหมด → ลบออกจากเงินที่จ่าย → ตรวจคำตอบ
• ตรวจคำตอบด้วยการบวกกลับ: ราคารวม $+$ เงินทอน ต้องเท่ากับเงินที่จ่ายพอดี
• ถ้าโจทย์ให้เป็นจำนวนที่ต้องชั่งน้ำหนัก (เช่น 2.5 กิโลกรัม) ให้คูณน้ำหนักกับราคาต่อหน่วยก่อน แล้วจึงคิดเงินทอน

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ซื้อของสองรายการ — ซื้อสมุด 3 เล่ม เล่มละ 18.50 บาท และปากกา 2 ด้าม ด้ามละ 12.75 บาท จ่ายธนบัตร 100 บาท → ค่าสมุด $3 \times 18.50 = 55.50$ บาท · ค่าปากกา $2 \times 12.75 = 25.50$ บาท · ราคารวม $= 55.50 + 25.50 = 81.00$ บาท · เงินทอน $= 100 - 81 = 19.00$ บาท
• ซื้อของที่ต้องชั่งน้ำหนัก — ซื้อส้ม 2.5 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 42 บาท จ่าย 500 บาท → ราคาส้ม $= 2.5 \times 42 = 105$ บาท · เงินทอน $= 500 - 105 = 395$ บาท
• ซื้อสามรายการ — ราคารวม $65.75 + 39.50 + 24.75 = 130.00$ บาท จ่าย 200 บาท → เงินทอน $= 200 - 130 = 70$ บาท
• ตรวจคำตอบ — $130 + 70 = 200$ พอดี แสดงว่าเงินทอนถูกต้อง

องค์ความรู้

• ส่วนลดครั้งเดียว — ส่วนลด $= \text{ราคาเต็ม} \times \frac{p}{100}$ และราคาที่ต้องจ่าย $= \text{ราคาเต็ม} \times \frac{100 - p}{100}$
• ส่วนลดซ้อน คือการลดหลายครั้งจากราคาเดิม โดย ครั้งที่สองคิดจากราคาที่ลดแล้ว ไม่ใช่ราคาเต็ม
• เมื่อลดซ้อน 2 ครั้งเป็นร้อยละ $p_1$ แล้ว $p_2$ ราคาที่ต้องจ่าย $= \text{ราคาเต็ม} \times \frac{100 - p_1}{100} \times \frac{100 - p_2}{100}$
• ส่วนลดรวมที่ได้จริง $= 1 - \frac{100 - p_1}{100} \times \frac{100 - p_2}{100}$ — เช่น ลดร้อยละ 20 แล้วลดร้อยละ 10 ได้ส่วนลดรวมร้อยละ 28 ไม่ใช่ร้อยละ 30
• ส่วนลดรวมเป็นเงิน $=$ ราคาเต็ม $-$ ราคาที่ต้องจ่ายจริง
• ลำดับการลดมีผลกับตัวเลขกลางทาง แต่ไม่เปลี่ยนราคาสุดท้าย — เพราะการคูณสลับที่กันได้

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ลดครั้งเดียว — กระเป๋าราคา 1{,}200 บาท ลดร้อยละ 15 → ส่วนลด $= \frac{15}{100} \times 1{,}200 = 180$ บาท → ต้องจ่าย $1{,}200 - 180 = 1{,}020$ บาท (คิดตรง ๆ: $1{,}200 \times 0.85 = 1{,}020$ ✓)
• ลดซ้อน 2 ครั้ง — เสื้อยืดราคา 800 บาท ลดร้อยละ 20 แล้วลดอีกครั้งร้อยละ 10 → ครั้งแรกจ่าย $800 \times 0.8 = 640$ บาท ครั้งที่สองลดจาก 640 → $640 \times 0.9 = 576$ บาท
• คิดส่วนลดรวม — จากข้อที่แล้ว จ่ายจริง 576 บาท จากราคาเต็ม 800 บาท → ลดไป $800 - 576 = 224$ บาท คิดเป็นร้อยละ $\frac{224}{800} \times 100 = 28$
• เทียบกับการลดครั้งเดียว — ถ้าลดร้อยละ 30 ครั้งเดียว จะจ่าย $800 \times 0.7 = 560$ บาท ซึ่งถูกกว่าการลดซ้อน $20\%$ แล้ว $10\%$ อยู่ $576 - 560 = 16$ บาท

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A[ราคาเต็ม 800 บาท] --> B[ลดครั้งที่ 1 ร้อยละ 20]
    B --> C[ราคาที่เหลือ 640 บาท]
    C --> D[ลดครั้งที่ 2 ร้อยละ 10 คิดจาก 640]
    D --> E[ราคาที่ต้องจ่าย 576 บาท]
    E --> F[ส่วนลดรวม 224 บาท คิดเป็นร้อยละ 28]
    F --> G[อย่าบวกร้อยละสองครั้งเป็น 30 เปอร์เซ็นต์]

คำบรรยายภาพ: ผังการคิดส่วนลดซ้อนจากราคาเต็ม 800 บาท ลดครั้งแรกร้อยละ 20 เหลือ 640 บาท แล้วลดครั้งที่สองร้อยละ 10 จากราคา 640 บาท จึงจ่ายจริง 576 บาท คิดเป็นส่วนลดรวมร้อยละ 28 พร้อมคำเตือนว่าห้ามบวกร้อยละสองครั้งเป็นร้อยละ 30

คำบรรยายภาพ: ภาพสินค้าติดป้ายราคา 800 บาท มีสติกเกอร์ลดร้อยละ 20 และลดอีกครั้งร้อยละ 10 ติดซ้อนกัน พร้อมลูกศรแสดงสองขั้นคือราคาเหลือ 640 บาท แล้วเหลือ 576 บาท โดยส่วนลดครั้งที่สองคิดจากราคาที่ลดแล้ว

องค์ความรู้

• ดอกเบี้ย คือค่าตอบแทนของการใช้เงิน — ฝากเงินแล้วธนาคารจ่ายดอกเบี้ยให้ผู้ฝาก · กู้เงินแล้วผู้กู้ต้องจ่ายดอกเบี้ยให้ธนาคาร
• ดอกเบี้ยอย่างง่าย คำนวณจากเงินต้นคงเดิมทุกปี
  • $\text{ดอกเบี้ย} = \text{เงินต้น} \times \text{อัตราดอกเบี้ยต่อปี} \times \text{เวลาเป็นปี}$
• อัตราดอกเบี้ยที่ธนาคารประกาศคิด ต่อปี เสมอ ถ้าระยะเวลาเป็นเดือนให้เทียบเป็นเศษส่วนของปี เช่น 8 เดือน $= \frac{8}{12}$ ปี
• อัตราดอกเบี้ยร้อยละ $r$ ต่อปี เขียนเป็นทศนิยมได้ $\frac{r}{100}$ เช่น ร้อยละ 2.5 ต่อปี = $0.025$
• เงินรวม $=$ เงินต้น $+$ ดอกเบี้ย (เงินฝากได้เพิ่ม · เงินกู้ต้องจ่ายเพิ่ม)
• เรื่องนี้เป็น ดอกเบี้ยอย่างง่าย เท่านั้น ไม่คิดทบต้น (การคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นเนื้อหาชั้นมัธยม จึงไม่ต้องใช้ในระดับนี้)

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ดอกเบี้ยเงินฝาก 1 ปี — ฝากเงิน 20{,}000 บาท อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 2.5 ต่อปี เป็นเวลา 1 ปี → ดอกเบี้ย $= 20{,}000 \times 0.025 \times 1 = 500$ บาท · เงินรวม $= 20{,}500$ บาท
• ฝากไม่ครบปี — ฝากเงิน 20{,}000 บาท อัตราเดิม แต่ฝาก 8 เดือน → เวลา $= \frac{8}{12}$ ปี → ดอกเบี้ย $= 20{,}000 \times 0.025 \times \frac{8}{12} = 333.33$ บาท
• ดอกเบี้ยเงินกู้ — กู้เงิน 50{,}000 บาท อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 6 ต่อปี เป็นเวลา 2 ปี → ดอกเบี้ย $= 50{,}000 \times 0.06 \times 2 = 6{,}000$ บาท · ต้องจ่ายคืนรวม $50{,}000 + 6{,}000 = 56{,}000$ บาท
• ตรวจคำตอบด้วยบัญญัติไตรยางศ์ — เงินต้น 100 บาท ได้ดอกเบี้ยปีละ 2.5 บาท ดังนั้นเงินต้น 20{,}000 บาท ได้ $\frac{20{,}000}{100} \times 2.5 = 500$ บาท ตรงกัน ✓

เงินต้น	อัตราต่อปี	เวลา	ดอกเบี้ย
$20{,}000$ บาท	ร้อยละ 2.5	1 ปี	$500.00$ บาท
$20{,}000$ บาท	ร้อยละ 2.5	8 เดือน	$333.33$ บาท
$50{,}000$ บาท	ร้อยละ 6	2 ปี	$6{,}000.00$ บาท
$8{,}000$ บาท	ร้อยละ 3	6 เดือน	$120.00$ บาท

คำบรรยายภาพ: ตารางคำนวณดอกเบี้ยอย่างง่าย 4 กรณี โดยใช้สูตร เงินต้น คูณ อัตราดอกเบี้ยต่อปี คูณ เวลาเป็นปี สังเกตว่ากรณีเวลาเป็นเดือนต้องแปลงเป็นเศษส่วนของปีก่อน เช่น 8 เดือนเท่ากับแปดในสิบสองปี

องค์ความรู้

• ฐานของร้อยละกำไร–ขาดทุนคือต้นทุนเสมอ — ใช้ราคาขายเป็นฐานเป็นความผิดที่พบบ่อยที่สุดในโจทย์ซื้อขาย
• หาทุนจากราคาขายต้อง «หาร» ไม่ใช่ «ลบ» — ถ้าขาย 660 บาท กำไรร้อยละ 10 ต้นทุนคือ $660 \times \frac{100}{110} = 600$ บาท ไม่ใช่ $660 - 66 = 594$ บาท
• ส่วนลดซ้อนต้องคิดทีละครั้งจากราคาที่ลดแล้ว — ห้ามบวกร้อยละสองครั้งเข้าด้วยกัน เพราะฐานของครั้งที่สองเปลี่ยนไปแล้ว
• กำไรกับขาดทุนใช้ฐานเดียวกันแต่อยู่คนละข้างของต้นทุน — กำไรเทียบ «ทุน → ขาย» · ขาดทุนเทียบ «ทุน → ขาย» เช่นกัน จึงใช้ตัวหารเป็น $100 + p$ หรือ $100 - q$ ตามทิศทาง
• แยกให้ออกว่าโจทย์ถามร้อยละของอะไร — «กำไรคิดเป็นร้อยละเท่าไร» ตอบเทียบกับทุน · «ขายขาดทุนร้อยละเท่าไร» ก็ตอบเทียบกับทุนเช่นกัน ถ้าโจทย์ระบุฐานอื่นไว้ชัดเจนเป็นพิเศษ ให้ยึดตามที่โจทย์ระบุ แต่โจทย์ส่วนใหญ่ของระดับนี้ใช้ฐานคือต้นทุนเสมอ
• ตรวจคำตอบด้วยการแทนค่ากลับเสมอ — หาทุนได้แล้วลองคูณกลับด้วยร้อยละที่โจทย์ให้ ต้องได้ราคาขายตรงตามโจทย์

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ฐานผิด — ทุน 500 บาท ขาย 600 บาท กำไร 100 บาท → ร้อยละของ ทุน $= \frac{100}{500} \times 100 = 20$ (ถูก) แต่ถ้าเอาไปเทียบกับ ราคาขาย จะได้ $\frac{100}{600} \times 100 = 16.67$ (ผิดฐาน)
• ลบตรง ๆ ไม่ได้ — ขายสินค้า 660 บาท กำไรร้อยละ 10 → วิธีที่ผิดคือลบร้อยละ 10 ของราคาขาย: $660 - 66 = 594$ บาท · วิธีที่ถูกคือ $660 \times \frac{100}{110} = 600$ บาท · ตรวจ: $600 \times 1.1 = 660$ ✓
• บวกเปอร์เซ็นต์ส่วนลดซ้อน — สินค้า 1{,}500 บาท ลดร้อยละ 25 แล้วร้อยละ 20 → จ่ายจริง $1{,}500 \times 0.75 \times 0.8 = 900$ บาท (ลดรวมร้อยละ 40) ถ้าบวกเป็นร้อยละ 45 จะได้ $1{,}500 \times 0.55 = 825$ บาท ซึ่งผิดต่างกัน 75 บาท
• ขาดทุนก็ใช้ฐานเดียวกัน — ทุน 1{,}250 บาท ขายไป 1{,}000 บาท → ขาดทุน 250 บาท คิดเป็นร้อยละของทุน $= \frac{250}{1{,}250} \times 100 = 20$ ไม่ใช่ร้อยละ 25 ของราคาขาย

ภาพและไดอะแกรม

สถานการณ์	วิธีที่ผิด	วิธีที่ถูก	เหตุผล
ทุน 500 ขาย 600	กำไรร้อยละ 16.67 (เทียบราคาขาย)	กำไรร้อยละ 20 (เทียบทุน)	ฐานคือต้นทุน
ขาย 660 กำไรร้อยละ 10	$660 - 66 = 594$	$660 \times \frac{100}{110} = 600$	ต้องหาร ไม่ใช่ลบ
ลดร้อยละ 25 แล้ว 20	บวกเป็นร้อยละ 45	คิดทีละครั้งได้ร้อยละ 40	ฐานครั้งที่สองคือราคาที่ลดแล้ว
ทุน 1,250 ขาย 1,000	ขาดทุนร้อยละ 25	ขาดทุนร้อยละ 20	ฐานคือต้นทุน

คำบรรยายภาพ: ตารางสรุปจุดพลาดที่พบบ่อย 4 กรณี เทียบวิธีที่ผิดกับวิธีที่ถูก พร้อมเหตุผลสั้น ๆ ว่าทุกกรณีผิดเพราะใช้ฐานไม่ตรง — ร้อยละกำไรและขาดทุนต้องเทียบกับต้นทุนเสมอ การหาทุนจากราคาขายต้องหาร และส่วนลดซ้อนต้องคิดทีละครั้งจากราคาที่ลดแล้ว