อัตราส่วน สัดส่วน และร้อยละ

องค์ความรู้

• อัตราส่วน คือการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณที่มี หน่วยเดียวกัน เขียนเป็น $a : b$ อ่านว่า «$a$ ต่อ $b$» — เขียนเป็นเศษส่วน $\frac{a}{b}$ แทนได้
• อัตราส่วน ไม่มีหน่วย เพราะเป็นการเทียบกันเฉย ๆ — อัตราส่วนน้ำหนักเป็น $2 : 3$ ไม่ใช่ $2$ กก. $: 3$ กก.
• ปริมาณที่จะเทียบกันต้องเป็น หน่วยเดียวกัน ถ้าต่างหน่วยให้แปลงก่อน — 20 นาที ต่อ 1 ชั่วโมง คือ $20 : 60 = 1 : 3$
• ลำดับหน้าหลังสำคัญมาก — โจทย์เขียน «จำนวนดินสอสีแดงต่อจำนวนดินสอสีน้ำเงิน» คำตอบต้องเรียงตามลำดับนั้น ถ้าสลับเป็น $9 : 6$ จะผิดทั้งที่ตัวเลขถูก
• อัตราส่วนอย่างต่ำ คือรูปที่ทั้งสองจำนวนไม่มีตัวหารร่วมกันแล้ว — หารทั้งสองจำนวนด้วย ห.ร.ม. ของทั้งคู่ (ดู math-factor.md หัวข้อ math-factor-03)
• เปรียบเทียบได้มากกว่า 2 ปริมาณ เขียนเป็นอัตราส่วนสามจำนวน เช่น $2 : 3 : 5$ โดยอ่านว่า «2 ต่อ 3 ต่อ 5»

ตัวอย่างและวิธีคิด

• เขียนอัตราส่วนจากคำบอกเล่า — กล่องดินสอมีสีแดง 6 แท่ง สีน้ำเงิน 9 แท่ง อัตราส่วนดินสอสีแดงต่อดินสอสีน้ำเงินคือ $6 : 9$ ทำเป็นอย่างต่ำโดยหารทั้งคู่ด้วย 3 ได้ $2 : 3$
• แปลงหน่วยก่อนเขียนอัตราส่วน — 20 นาที ต่อ 1 ชั่วโมง → 1 ชั่วโมง $= 60$ นาที → $20 : 60 = 1 : 3$
• อัตราส่วนสามจำนวน — เงินของ ก : ข : ค เป็น $2 : 3 : 5$ ถ้า ก มี 40 บาท → ค่าหนึ่งส่วน $= 40 \div 2 = 20$ บาท → ข มี $3 \times 20 = 60$ บาท และ ค มี $5 \times 20 = 100$ บาท (รวม $40 + 60 + 100 = 200$ บาท ตรวจได้)
• ตรวจว่าอัตราส่วนตรงกับโจทย์หรือไม่ — โจทย์บอก «แดงต่อน้ำเงิน» คำตอบ $2 : 3$ หมายถึงแดง 2 ส่วน น้ำเงิน 3 ส่วน — ถ้าเขียนกลับเป็น $3 : 2$ ความหมายเปลี่ยนทันที

ภาพและไดอะแกรม

flowchart LR
    A[อ่านคำบอกเล่าในโจทย์] --> B[แยกปริมาณสองฝ่ายให้ชัด]
    B --> C{หน่วยเดียวกันหรือยัง}
    C -->|ยัง| D[แปลงหน่วยให้เหมือนกันก่อน]
    C -->|แล้ว| E[เขียนอัตราส่วนให้ตรงลำดับหน้า-หลัง]
    D --> E
    E --> F[หารทั้งสองจำนวนด้วย ห.ร.ม. ให้เป็นอย่างต่ำ]

คำบรรยายภาพ: ผังขั้นตอนการเขียนอัตราส่วนจากโจทย์ เริ่มจากอ่านคำบอกเล่าแล้วแยกปริมาณสองฝ่ายให้ชัด ตรวจว่าหน่วยเดียวกันหรือยัง ถ้ายังต้องแปลงหน่วยก่อน จึงเขียนอัตราส่วนให้ตรงลำดับหน้า-หลัง และทอนเป็นอัตราส่วนอย่างต่ำด้วย ห.ร.ม.

องค์ความรู้

• อัตราส่วนที่เท่ากัน ได้จากการคูณหรือหารทั้งสองจำนวนด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ 0 — $2 : 3 = 8 : 12$ (คูณ 4 ทั้งคู่) · $10 : 15 = 2 : 3$ (หาร 5 ทั้งคู่)
• หาจำนวนที่หายไป ดูว่าจำนวนที่รู้เปลี่ยนไปจากเดิมกี่เท่า แล้วคูณจำนวนตรงข้ามด้วยจำนวนเท่านั้น ใช้ «การคูณไขว้» ตรวจได้ด้วย
• ตรวจว่าอัตราส่วนสองคู่เท่ากันหรือไม่: เขียนเป็นเศษส่วนทั้งสองข้างแล้วทอนเป็นรูปอย่างต่ำ ถ้าทอนแล้วได้เท่ากันจึงเท่ากัน
• อัตราส่วนที่เท่ากันใช้ขยายสูตรหรือขยายจำนวนของในสถานการณ์จริง เช่น สูตรน้ำหวาน $1 : 4$ จะขยายเป็น $3 : 12$ เพื่อทำปริมาณมากขึ้น
• ระวังการบวกหรือลบ: $2 : 3$ เท่ากับ $4 : 5$ ไม่ได้ — อัตราส่วนเท่ากันเกิดจากการคูณหรือหารเท่านั้น

ตัวอย่างและวิธีคิด

• หาจำนวนที่หายไป — $3 : 8 = \square : 40$ ตัวหลังเปลี่ยนจาก 8 เป็น 40 คือคูณ 5 จึงคูณตัวหน้า 3 ด้วย 5 ด้วย → $\square = 15$
• ทอนให้เป็นอย่างต่ำ — $10 : 15$ หารทั้งคู่ด้วย 5 ได้ $2 : 3$
• หาจำนวนที่หายไปอีกแบบ — $4 : x = 12 : 21$ ตัวหน้าเปลี่ยนจาก 4 เป็น 12 คือคูณ 3 ตัวหลังจึงต้องคูณ 3 ด้วย → $x \times 3 = 21$ → $x = 21 \div 3 = 7$
• ตรวจด้วยการคูณไขว้ — $4 : 7 = 12 : 21$ → $4 \times 21 = 84$ และ $7 \times 12 = 84$ เท่ากัน จึงเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

องค์ความรู้

• มาตราส่วน คืออัตราส่วนของ ระยะในภาพต่อระยะจริง (รูปวาด แผนที่ แบบแปลน) เขียนเป็น $1 : n$ หมายความว่าในภาพ 1 หน่วย แทนระยะจริง $n$ หน่วย โดยวัดด้วยหน่วยเดียวกันทั้งสองฝ่าย
• ระยะจริง $=$ ระยะในภาพ $\times n$ · ระยะในภาพ $=$ ระยะจริง $\div n$
• หน่วยที่ต้องแม่น: $1$ ม. $= 100$ ซม. · $1$ กม. $= 1{,}000$ ม. $= 100{,}000$ ซม.
• โจทย์มาตราส่วนต้องแยกให้ออกว่า ถามระยะจริง (ให้คูณ) หรือ ถามระยะในภาพ (ให้หาร) และต้องแปลงหน่วยให้ตรงกันก่อน โดยมากแปลงระยะจริงเป็น ซม.
• คำตอบที่ได้เป็น ซม. มักยาวเกินอ่าน — เปลี่ยนเป็น ม. หรือ กม. ให้เหมาะสมก่อนตอบ
• มาตราส่วนบนแผนที่จริงและแผนผังทิศทางของไทยดูเพิ่มได้ที่ ../สังคมศึกษา/so-geo.md

มาตราส่วน $1 : n$	ในภาพ 1 ซม. แทนระยะจริง	ใช้กับงานแบบใด
$1 : 100{,}000$	$100{,}000$ ซม. $= 1$ กม.	แผนที่จังหวัด · แผนที่ประเทศ
$1 : 50{,}000$	$50{,}000$ ซม. $= 0.5$ กม.	แผนที่อำเภอ
$1 : 500$	$500$ ซม. $= 5$ ม.	แบบแปลนบ้าน · แปลนห้อง

คำบรรยายภาพ: ตารางเทียบมาตราส่วนที่ใช้บ่อย 3 ค่า คือ $1 : 100{,}000$ · $1 : 50{,}000$ และ $1 : 500$ พร้อมบอกว่าในภาพ 1 ซม. แทนระยะจริงเท่าไร และมักใช้กับงานประเภทใด

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ถามระยะจริง — แผนที่มาตราส่วน $1 : 100{,}000$ วัดระยะในภาพได้ 4 ซม. → ระยะจริง $= 4 \times 100{,}000 = 400{,}000$ ซม. $= 4$ กม.
• ถามระยะในภาพ — ถนนจริงยาว 3 กม. เขียนลงแผนที่มาตราส่วน $1 : 50{,}000$ → แปลง $3$ กม. $= 300{,}000$ ซม. → ระยะในภาพ $= 300{,}000 \div 50{,}000 = 6$ ซม.
• มาตราส่วนแบบแปลน — ห้องยาวจริง 6 เมตร เขียนเป็นแบบแปลนมาตราส่วน $1 : 500$ → แปลง $6$ ม. $= 600$ ซม. → ระยะในภาพ $= 600 \div 500 = 1.2$ ซม.
• ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ — ระยะในภาพ 1.2 ซม. คูณ $500$ ได้ $600$ ซม. เท่ากับความยาวจริง 6 เมตร ✓

คำบรรยายภาพ: ภาพเทียบระยะในภาพกับระยะจริงของมาตราส่วน $1 : 100{,}000$ โดยเส้นบนแทนระยะในภาพ 1 เซนติเมตร และเส้นล่างแทนระยะจริง 100,000 เซนติเมตร ซึ่งเท่ากับ 1 กิโลเมตร ช่วยให้เห็นว่ามาตราส่วนย่อของจริงลงมามากเท่าไร

องค์ความรู้

• สัดส่วน คือประโยคที่บอกว่าอัตราส่วนสองอัตราส่วนเท่ากัน เขียนเป็น $a : b = c : d$ และตรวจได้ด้วย การคูณไขว้ คือ $a \times d = b \times c$
• ลำดับคิดของโจทย์อัตราส่วนมี 4 ขั้น: อ่านโจทย์ให้รู้ว่าเทียบอะไรกับอะไร → เขียนอัตราส่วนให้ตรงลำดับ → หาค่าของ «หนึ่งส่วน» → คูณกลับไปหาสิ่งที่โจทย์ถาม
• การแบ่งของตามอัตราส่วน $a : b$ — จำนวนส่วนทั้งหมดคือ $a + b$ ส่วน · ค่าหนึ่งส่วน $=$ ปริมาณทั้งหมด $\div (a + b)$ · ของแต่ละฝ่าย $=$ ค่าหนึ่งส่วน $\times$ จำนวนส่วนของฝ่ายนั้น
• โจทย์ที่บอกผลต่าง — ใช้ผลต่างของจำนวนส่วน $a - b$ (เมื่อ $a > b$) เป็นตัวหาร: ค่าหนึ่งส่วน $=$ ผลต่างที่โจทย์บอก $\div (a - b)$
• โจทย์ที่บอกจำนวนของฝ่ายเดียว — ค่าหนึ่งส่วน $=$ จำนวนที่บอก $\div$ จำนวนส่วนของฝ่ายนั้น แล้วค่อยหาฝ่ายอื่นหรือยอดรวม
• ตรวจคำตอบ 2 อย่าง: ผลรวมของทุกฝ่ายต้องเท่ากับปริมาณทั้งหมดที่โจทย์ให้ · อัตราส่วนอย่างต่ำของคำตอบต้องตรงกับที่โจทย์กำหนด

ตัวอย่างและวิธีคิด

• แบ่งเงินตามอัตราส่วน — แบ่งเงิน 240 บาท ให้สองคนตามอัตราส่วน $3 : 5$ → ส่วนรวม $3 + 5 = 8$ ส่วน → ค่าหนึ่งส่วน $= 240 \div 8 = 30$ บาท → คนแรกได้ $3 \times 30 = 90$ บาท คนที่สองได้ $5 \times 30 = 150$ บาท (ตรวจ: $90 + 150 = 240$ ✓)
• โจทย์บอกผลต่าง — อัตราส่วนอายุพี่ต่อน้องเป็น $7 : 4$ พี่มากกว่าน้อง 6 ปี → ผลต่าง $7 - 4 = 3$ ส่วน $= 6$ ปี → ค่าหนึ่งส่วน $= 2$ ปี → พี่อายุ $7 \times 2 = 14$ ปี น้องอายุ $4 \times 2 = 8$ ปี (ตรวจ: $14 - 8 = 6$ ✓)
• โจทย์บอกจำนวนฝ่ายเดียว — นักเรียนหญิง 18 คน คิดเป็นอัตราส่วนนักเรียนหญิงต่อนักเรียนชาย $3 : 5$ → ค่าหนึ่งส่วน $= 18 \div 3 = 6$ คน → นักเรียนชาย $5 \times 6 = 30$ คน → ทั้งห้องมี $18 + 30 = 48$ คน
• ตรวจด้วยการคูณไขว้ — $3 : 5 = 18 : 30$ → $3 \times 30 = 90$ และ $5 \times 18 = 90$ เท่ากัน จึงเป็นสัดส่วนที่ถูกต้อง

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A[อ่านโจทย์ ระบุสิ่งที่เทียบและสิ่งที่ถาม] --> B[เขียนอัตราส่วนให้ตรงลำดับหน้า-หลัง]
    B --> C[นับจำนวนส่วนทั้งหมด a บวก b]
    C --> D[ค่าหนึ่งส่วน เท่ากับ ปริมาณทั้งหมด หาร จำนวนส่วนทั้งหมด]
    D --> E[คูณค่าหนึ่งส่วนด้วยจำนวนส่วนของแต่ละฝ่าย]
    E --> F[ตรวจคำตอบ ผลรวมต้องเท่ากับปริมาณทั้งหมด]

คำบรรยายภาพ: แผนผังขั้นตอนแก้โจทย์ปัญหาอัตราส่วน เริ่มจากอ่านโจทย์แล้วเขียนอัตราส่วนให้ตรงลำดับ นับจำนวนส่วนทั้งหมด หาค่าของหนึ่งส่วนด้วยการหาร แล้วคูณกลับด้วยจำนวนส่วนของแต่ละฝ่าย สุดท้ายตรวจว่าผลรวมของทุกฝ่ายตรงกับปริมาณทั้งหมดที่โจทย์ให้

คำบรรยายภาพ: ภาพแถบแสดงการแบ่งเงิน 240 บาท ตามอัตราส่วน $3 : 5$ แบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่า ๆ กัน ส่วนละ 30 บาท สามส่วนแรกเป็นเงิน 90 บาท และห้าส่วนหลังเป็นเงิน 150 บาท

องค์ความรู้

• ร้อยละ (หรือเปอร์เซ็นต์) คือการเทียบกับ 100 — ร้อยละ $n$ เขียนเป็นเศษส่วนได้ $\frac{n}{100}$ และเขียนเป็นทศนิยมได้ $n \div 100$ เช่น ร้อยละ 25 คือ $\frac{25}{100} = 0.25$
• แปลงเศษส่วนเป็นร้อยละ: ทำส่วนให้เป็น 100 แล้วอ่านตัวเศษ หรือคูณด้วย 100 — $\frac{3}{5} = \frac{60}{100}$ = ร้อยละ 60
• แปลงทศนิยมเป็นร้อยละ: คูณด้วย 100 แล้วเติมเครื่องหมาย % — $0.4 =$ ร้อยละ 40 · $0.075 =$ ร้อยละ 7.5
• หาร้อยละ $p$ ของจำนวน $N$: $\frac{p}{100} \times N$
• หาว่าจำนวน $A$ เป็นร้อยละเท่าไรของจำนวน $B$: $\frac{A}{B} \times 100$ — ต้องแยกให้ออกว่าอะไรคือ «ทั้งหมด» ($B$) และอะไรคือ «ส่วนที่เอาไปเทียบ» ($A$)
• หาจำนวนทั้งหมดเมื่อรู้ว่า ร้อยละ $p$ ของทั้งหมดเท่ากับ $A$: $A \div \frac{p}{100} = A \times \frac{100}{p}$
• ร้อยละเป็นเรื่องของ «เทียบกับฐาน» เสมอ — ก่อนคิดต้องถามตัวเองว่าเทียบกับจำนวนใด ถ้าเปลี่ยนฐานคำตอบจะเปลี่ยน

ตัวอย่างและวิธีคิด

• แปลงไปมาระหว่างสามรูป — ร้อยละ 25 คือ $\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0.25$ · ร้อยละ 60 คือ $\frac{60}{100} = \frac{3}{5} = 0.6$ · $0.075$ คือร้อยละ 7.5
• หาร้อยละของจำนวน — ร้อยละ 60 ของ 480 คือ $\frac{60}{100} \times 480 = 288$
• หาว่าคิดเป็นร้อยละเท่าไร — 45 คิดเป็นร้อยละเท่าไรของ 180 → $\frac{45}{180} \times 100 = 25$ จึงเป็นร้อยละ 25
• หาจำนวนทั้งหมดจากส่วนที่รู้ — 12 เป็นร้อยละ 15 ของจำนวนหนึ่ง → จำนวนนั้น $= 12 \times \frac{100}{15} = 80$ · ตรวจ: ร้อยละ 15 ของ 80 คือ $\frac{15}{100} \times 80 = 12$ ✓

ร้อยละ	เศษส่วน	ทศนิยม
ร้อยละ 10	$\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$	$0.1$
ร้อยละ 25	$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$	$0.25$
ร้อยละ 50	$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$	$0.5$
ร้อยละ 75	$\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$	$0.75$
ร้อยละ 7.5	$\frac{7.5}{100} = \frac{3}{40}$	$0.075$

คำบรรยายภาพ: ตารางเทียบร้อยละกับเศษส่วนและทศนิยม 5 ค่า แสดงให้เห็นว่าทุกร้อยละเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 100 ได้และทอนต่อได้ และเขียนเป็นทศนิยมได้ด้วยการหารด้วย 100

องค์ความรู้

• จำนวนที่เพิ่มขึ้น $p$% — ค่าใหม่ $=$ ค่าเดิม $\times \frac{100 + p}{100}$ เช่น เพิ่มร้อยละ 12 คือคูณด้วย $1.12$
• จำนวนที่ลดลง $p$% — ค่าใหม่ $=$ ค่าเดิม $\times \frac{100 - p}{100}$ เช่น ลดร้อยละ 15 คือคูณด้วย $0.85$
• หาค่าเดิม (โจทย์ย้อนทาง) — ค่าเดิม $=$ ค่าใหม่ $\times \frac{100}{100 \pm p}$ โดยใช้ $\frac{100}{100+p}$ เมื่อโจทย์บอกว่าเพิ่มขึ้น และ $\frac{100}{100-p}$ เมื่อบอกว่าลดลง
• หาว่าเพิ่มหรือลดร้อยละเท่าไร — หาผลต่างก่อน แล้วเทียบกับ ค่าเดิม เสมอ: $\frac{\text{ผลต่าง}}{\text{ค่าเดิม}} \times 100$
• โจทย์เพิ่มขึ้น–ลดลงต่อกันสองครั้งต้องคิด ทีละครั้ง โดยใช้ค่าที่ได้จากครั้งแรกเป็นฐานของครั้งถัดไป
• ข้อควรจำ: เพิ่มร้อยละ 20 แล้วลดร้อยละ 20 ไม่ได้กลับไปเท่าค่าเดิม เพราะครั้งที่สองคิดจากยอดที่เพิ่มแล้ว (ค่าที่ทำอยู่ในโจทย์ซื้อขาย กำไร–ขาดทุน และส่วนลดซ้อนดู math-money.md)
• ตรวจคำตอบด้วยสามัญสำนึก: ถ้าเป็นการลด ค่าสุดท้ายต้องน้อยกว่าเดิม · ถ้าเป็นการเพิ่ม ต้องมากกว่าเดิม

ตัวอย่างและวิธีคิด

• เพิ่มขึ้น — จำนวนนักเรียนปีที่แล้ว 2{,}500 คน ปีนี้เพิ่มขึ้นร้อยละ 12 → นักเรียนปีนี้ $= 2{,}500 \times \frac{112}{100} = 2{,}800$ คน (เพิ่มจริง $300$ คน ตรวจด้วยการคูณ: $\frac{12}{100} \times 2{,}500 = 300$ ✓)
• ลดลง — สวนผักมีพื้นที่ 1{,}200 ตารางเมตร ปีนี้ลดลงร้อยละ 15 → เหลือ $1{,}200 \times \frac{85}{100} = 1{,}020$ ตารางเมตร
• หาค่าเดิมเมื่อโจทย์บอกว่าเพิ่มขึ้น — จำนวนผู้เข้าชมหลังเพิ่มร้อยละ 20 แล้วเป็น 960 คน → จำนวนเดิม $= 960 \times \frac{100}{120} = 800$ คน · ตรวจ: เพิ่มร้อยละ 20 ของ 800 คือ 160 → $800 + 160 = 960$ ✓
• เพิ่มแล้วลดไม่ได้กลับเท่าเดิม — ราคาสินค้า 1{,}000 บาท เพิ่มร้อยละ 20 ได้ $1{,}200$ แล้วลดร้อยละ 20 จากราคาใหม่ ได้ $1{,}200 \times \frac{80}{100} = 960$ ซึ่งน้อยกว่า 1{,}000 อยู่ 40 บาท

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A[อ่านโจทย์ หาสิ่งที่ถามและสิ่งที่รู้] --> B{โจทย์ถามอะไร}
    B -->|หาส่วนของทั้งหมด| C[เขียนร้อยละเป็น n ส่วน 100 แล้วคูณกับทั้งหมด]
    B -->|หาว่าคิดเป็นร้อยละเท่าไร| D[ผลต่างหรือส่วนที่เทียบ หาร ค่าเดิม แล้วคูณ 100]
    B -->|หาค่าเดิมจากค่าที่รู้| E[ค่าที่รู้ คูณ 100 แล้วหารด้วย 100 บวกหรือลบ p]
    C --> F[ตอบพร้อมหน่วย]
    D --> F
    E --> F
    F --> G[ตรวจว่าค่าที่เพิ่มต้องมากกว่าเดิม ค่าที่ลดต้องน้อยกว่าเดิม]

คำบรรยายภาพ: แผนผังการแก้โจทย์ร้อยละ แยกตามสิ่งที่โจทย์ถาม 3 แบบ คือหาส่วนของทั้งหมดด้วยการคูณเศษส่วน $\frac{n}{100}$ กับทั้งหมด · หาว่าคิดเป็นร้อยละเท่าไรด้วยการเอาผลต่างหรือส่วนที่เทียบหารค่าเดิมแล้วคูณ 100 · และหาค่าเดิมจากค่าที่รู้ด้วยการคูณ 100 แล้วหารด้วย $100 \pm p$ จากนั้นตอบพร้อมหน่วยและตรวจว่าค่าที่ได้มากหรือน้อยกว่าเดิมตามที่โจทย์บอก