เรขาคณิตสามมิติ พื้นที่ผิว และปริมาตร

องค์ความรู้

• รูปเรขาคณิตสามมิติ คือรูปที่มี 3 มิติ คือ กว้าง ยาว และสูง (หนาหรือลึก) ต่างจากรูปสองมิติที่มีแค่กว้างกับยาว จึงมี ปริมาตร อยู่ในตัว
• ส่วนประกอบของรูปทรง — หน้า คือผิวที่แบนราบ · ขอบ คือเส้นที่เป็นรอยต่อของสองหน้า · จุดยอด คือจุดที่ขอบมาบรรจบกัน · ส่วนทรงที่มีผิวโค้งจะไม่มีขอบตรง แต่มี ผิวโค้ง เป็นส่วนประกอบของตัวเอง
• ทรงที่ต้องรู้จัก — ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก · ทรงกระบอก · ทรงกรวย · ทรงกลม · ปริซึม · พีระมิด (ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากและลูกบาศก์ต่างก็เป็นปริซึมแบบหนึ่ง)
• นับส่วนประกอบของพีระมิด — เรียกชื่อตามรูปฐาน ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มี $n$ ด้าน จะมีหน้า $n + 1$ หน้า (ฐาน $1$ + หน้าข้างเป็นสามเหลี่ยม $n$ หน้า) · ขอบ $2n$ ขอบ · จุดยอด $n + 1$ จุด
• นับส่วนประกอบของปริซึม — มีหน้าคู่ที่เท่ากันและขนานกัน 2 หน้า ส่วนด้านข้างเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก ถ้าฐานมี $n$ ด้าน จะมีหน้า $n + 2$ หน้า · ขอบ $3n$ ขอบ · จุดยอด $2n$ จุด
• วิธีแยกทรงให้เร็ว — มีผิวโค้งไหม (ทรงกลม ทรงกระบอก กรวย มี · ปริซึม พีระมิด ไม่มี) · มียอดแหลมไหม (กรวย พีระมิด มี · ทรงกระบอก ทรงกลม ไม่มี) · ฐานเป็นรูปอะไรและมีกี่หน้า (ใช้แยกพีระมิดออกจากปริซึม)

รูปทรง	หน้า	ลักษณะของหน้า	ขอบ	จุดยอด
ทรงกลม	ไม่มีหน้าแบน	ผิวโค้งทั้งลูก	ไม่มีขอบ	ไม่มีจุดยอด
ทรงกระบอก	$2$ หน้า	วงกลม $2$ วงเท่ากัน + ผิวโค้ง $1$ ผิว	$2$ ขอบโค้ง	ไม่มีจุดยอด
ทรงกรวย	$1$ หน้า	วงกลม $1$ วง (ฐาน) + ผิวโค้ง $1$ ผิว	$1$ ขอบโค้ง	$1$ จุดยอด
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม	$5$ หน้า	สี่เหลี่ยม $1$ หน้า + สามเหลี่ยม $4$ หน้า	$8$ ขอบ	$5$ จุดยอด
ปริซึมฐานสามเหลี่ยม	$5$ หน้า	สามเหลี่ยมเท่ากัน $2$ หน้า + สี่เหลี่ยม $3$ หน้า	$9$ ขอบ	$6$ จุดยอด
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก	$6$ หน้า	สี่เหลี่ยมมุมฉาก $6$ หน้า	$12$ ขอบ	$8$ จุดยอด
ลูกบาศก์	$6$ หน้า	สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน $6$ หน้า	$12$ ขอบ	$8$ จุดยอด

ตัวอย่างและวิธีคิด

• พีระมิดฐานห้าเหลี่ยมมีกี่หน้า กี่ขอบ กี่จุดยอด — ฐานมี $5$ ด้าน จึงมีหน้า $5 + 1 = 6$ หน้า · ขอบ $2 \times 5 = 10$ ขอบ · จุดยอด $5 + 1 = 6$ จุด
• ปริซึมฐานหกเหลี่ยมมีกี่หน้า — หน้า $= 6 + 2 = 8$ หน้า (หกเหลี่ยมเท่ากัน $2$ หน้า + สี่เหลี่ยมมุมฉากด้านข้าง $6$ หน้า)
• ทรงใดไม่มีจุดยอดเลย — ทรงกลมและทรงกระบอก เพราะไม่มีมุมที่ขอบมาบรรจบกัน ส่วนกรวยและพีระมิดเป็นทรงที่มีจุดยอด
• กระป๋องนมเป็นทรงอะไร มีหน้าแบนกี่หน้า — ทรงกระบอก มีหน้าแบนเป็นวงกลม 2 หน้า (ปากกระป๋องกับก้นกระป๋อง) ส่วนด้านข้างเป็นผิวโค้ง 1 ผิว
• ลูกบาศก์ต่างจากทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากอย่างไร — ลูกบาศก์เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามยาวเท่ากัน จึงมีหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันทั้ง $6$ หน้า

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["รูปเรขาคณิตสามมิติ"] --> B{"มีผิวโค้งหรือไม่"}
    B -- "มี" --> C{"มียอดแหลมหรือไม่"}
    C -- "ไม่มี" --> D{"มีหน้าโค้งล้อมเป็นลูกหรือมีวงกลม 2 หน้า"}
    D -- "ผิวโค้งทั้งลูก" --> E["ทรงกลม"]
    D -- "วงกลม 2 หน้าเท่ากัน" --> F["ทรงกระบอก"]
    C -- "มียอดแหลม 1 ยอด" --> G["ทรงกรวย"]
    B -- "ไม่มี" --> H{"มียอดแหลมหรือไม่"}
    H -- "มี" --> I["พีระมิด เรียกชื่อตามรูปฐาน"]
    H -- "ไม่มี" --> J["ปริซึม รวมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากและลูกบาศก์"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังจำแนกรูปเรขาคณิตสามมิติ เริ่มจากดูว่ามีผิวโค้งหรือไม่ ถ้ามีผิวโค้งและไม่มีจุดยอด ให้ดูว่าผิวโค้งล้อมเป็นลูกกลมหรือมีหน้าแบนเป็นวงกลมเท่ากันสองหน้า จึงเป็นทรงกลมหรือทรงกระบอก ถ้ามีผิวโค้งและมียอดแหลมเป็นทรงกรวย ส่วนทรงที่ไม่มีผิวโค้งเลย ถ้ามียอดแหลมเป็นพีระมิดซึ่งเรียกชื่อตามรูปฐาน ถ้าไม่มีจุดยอดแหลมเป็นปริซึม

องค์ความรู้

• รูปคลี่ คือรูปเรขาคณิตสองมิติที่ได้จากการตัดผิวของรูปทรงสามมิติให้กางออกจนแบนราบ ถ้าพับตามรอยต่อกลับขึ้นมาจะได้รูปทรงเดิม
• จำนวนหน้าไม่เปลี่ยน — จำนวนรูปสองมิติในรูปคลี่เท่ากับจำนวนหน้าของทรงเสมอ ใช้ตรวจคำตอบได้ทันที
• วิธีตอบโจทย์รูปคลี่ — นับจำนวนหน้าและดูว่าแต่ละหน้าเป็นรูปอะไร แล้วเทียบกับลักษณะของทรง (มีวงกลมกี่วง · มีสามเหลี่ยมกี่รูป · ฐานเป็นรูปอะไร)
• ทรงกลมไม่มีรูปคลี่ เพราะเป็นผิวโค้งทั้งหมด กางให้แบนราบไม่ได้

รูปทรง	รูปคลี่ประกอบด้วย	จุดที่ต้องสังเกต
ทรงกระบอก	สี่เหลี่ยมมุมฉาก $1$ ผืน + วงกลม $2$ วง	ความยาวของสี่เหลี่ยมเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลม
ทรงกรวย	ส่วนของวงกลม $1$ ชิ้น + วงกลม $1$ วง	ด้านข้างกางออกเป็นรูปโค้ง ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม	สี่เหลี่ยมจัตุรัส $1$ รูป + สามเหลี่ยม $4$ รูป	หน้าข้างเป็นสามเหลี่ยมอยู่รอบฐาน
ปริซึม	รูปฐานเท่ากัน $2$ รูป + สี่เหลี่ยมมุมฉากด้านข้าง (เท่าจำนวนด้านของฐาน)	รูปฐาน 2 รูปต้องเท่ากันทุกประการ
ลูกบาศก์	สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน $6$ รูป	วางเรียงต่อกันได้หลายแบบ เช่น แบบตัวที หรือแบบกากบาท $1-4-1$

ตัวอย่างและวิธีคิด

• รูปคลี่ที่มีวงกลม $2$ วง กับสี่เหลี่ยมมุมฉาก $1$ ผืน — เป็นรูปคลี่ของ ทรงกระบอก เพราะทรงกระบอกมีหน้าตัดเป็นวงกลมเท่ากัน 2 หน้า และด้านข้างเป็นสี่เหลี่ยมที่พับโอบรอบวงกลม
• รูปคลี่ที่มีสามเหลี่ยม $4$ รูปเกาะอยู่รอบสี่เหลี่ยมจัตุรัส — เป็นรูปคลี่ของ พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม นับหน้าได้ $4 + 1 = 5$ หน้า ตรงกับพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม
• รูปคลี่ที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน $6$ รูปเรียงต่อกัน — เมื่อพับจะได้ ลูกบาศก์ เพราะลูกบาศก์มี $6$ หน้าเท่ากัน
• รูปคลี่หนึ่งมีหกเหลี่ยมเท่ากัน $2$ รูป กับสี่เหลี่ยมมุมฉาก $6$ ผืน เป็นทรงอะไร — เป็น ปริซึมฐานหกเหลี่ยม มีหน้า $6 + 2 = 8$ หน้า
• ลูกเต๋าที่ทำจากกระดาษต้องใช้รูปคลี่แบบใด — ลูกเต๋าเป็นลูกบาศก์ จึงใช้รูปคลี่สี่เหลี่ยมจัตุรัส $6$ รูปที่วางเรียงต่อกันเป็นผืนเดียว แล้วพับให้แต่ละหน้าติดกันครบ

ภาพและไดอะแกรม

รูปคลี่ของลูกบาศก์ (แบบกากบาท 1–4–1)

    +---+
    | U |
+---+---+---+---+
| L | F | R | B |
+---+---+---+---+
    | D |
    +---+

U = หน้าบน · D = หน้าล่าง · F = หน้าด้านหน้า · L = หน้าซ้าย · R = หน้าขวา · B = หน้าหลัง

คำบรรยายภาพ: แผนผังรูปคลี่ของลูกบาศก์แบบกากบาท มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 รูปเรียงกันเป็นแถว 4 รูป โดยมีอีกรูปอยู่ด้านบนและอีกรูปอยู่ด้านล่างของรูปที่สองในแถว พร้อมป้ายบอกว่าหน้ารูปใดกลายเป็นหน้าบน หน้าล่าง หน้าด้านหน้า หน้าซ้าย หน้าขวา และหน้าหลังของลูกบาศก์เมื่อพับขึ้นรูป

flowchart LR
    A["รูปคลี่"] --> B{"ในรูปคลี่มีรูปอะไรบ้าง"}
    B -- "วงกลม 2 วง + สี่เหลี่ยม" --> C["ทรงกระบอก"]
    B -- "วงกลม 1 วง + ส่วนของวงกลม" --> D["ทรงกรวย"]
    B -- "สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน 6 รูป" --> E["ลูกบาศก์"]
    B -- "สี่เหลี่ยมมุมฉาก 6 รูป" --> F["ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก"]
    B -- "รูปฐานเท่ากัน 2 รูป + สี่เหลี่ยมด้านข้าง" --> G["ปริซึม"]
    B -- "ฐาน 1 รูป + สามเหลี่ยมรอบฐาน" --> H["พีระมิด"]
    B -- "ไม่มีหน้าแบนเลย" --> I["ทรงกลม ไม่มีรูปคลี่"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังจับคู่รูปคลี่กับรูปทรง โดยดูจากรูปที่ปรากฏในรูปคลี่ ถ้ามีวงกลมสองวงกับสี่เหลี่ยมเป็นทรงกระบอก ถ้ามีวงกลมหนึ่งวงกับส่วนของวงกลมเป็นทรงกรวย ถ้ามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันหกรูปเป็นลูกบาศก์ ถ้ามีสี่เหลี่ยมมุมฉากหกรูปเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ถ้ามีรูปฐานเท่ากันสองรูปกับสี่เหลี่ยมด้านข้างเป็นปริซึม ถ้ามีฐานหนึ่งรูปกับสามเหลี่ยมรอบฐานเป็นพีระมิด ส่วนทรงกลมไม่มีรูปคลี่เพราะเป็นผิวโค้งทั้งหมด

องค์ความรู้

• ปริมาตร คือปริมาณที่บอกว่ารูปทรงกินที่อยู่เท่าไรในอากาศ หน่วยจึงเป็น ลูกบาศก์หน่วย เช่น ลูกบาศก์เซนติเมตร (ลบ.ซม.) และลูกบาศก์เมตร (ลบ.ม.)
• ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริมาตร $=$ กว้าง $\times$ ยาว $\times$ สูง หรือเขียนรวมว่า $V =$ พื้นที่ฐาน $\times$ สูง
• ลูกบาศก์ คือทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ด้านทั้งสามยาวเท่ากัน จึงใช้ $V =$ ด้าน $\times$ ด้าน $\times$ ด้าน
• ปริซึม ทุกชนิด (รวมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากและลูกบาศก์) ใช้สูตรเดียวกันว่า $V = \text{พื้นที่ฐาน} \times \text{สูง}$ คือหาพื้นที่ของรูปฐานก่อน (อาจเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หรือหลายเหลี่ยม) แล้วคูณกับความสูงของทรง
• แปลงหน่วยปริมาตร: $1$ ลบ.ม. $= 1{,}000{,}000$ ลบ.ซม. (เพราะแต่ละด้านยาว $100$ ซม. จึงเป็น $100 \times 100 \times 100$)
• ทรงที่ประกอบจากทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากหลายท่อน ให้แบ่งเป็นท่อนย่อย หาปริมาตรแต่ละท่อน แล้วบวกกัน

ตัวอย่างและวิธีคิด

• กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง $12$ ซม. ยาว $8$ ซม. สูง $5$ ซม. — $12 \times 8 \times 5 = 480$ ลบ.ซม.
• ลูกบาศก์ด้านละ $7$ ซม. — $7 \times 7 \times 7 = 343$ ลบ.ซม.
• ปริซึมฐานสามเหลี่ยมที่มีฐานยาว $6$ ซม. สูง $4$ ซม. และทรงสูง $10$ ซม. — พื้นที่ฐาน $= \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ ตร.ซม. · ปริมาตร $= 12 \times 10 = 120$ ลบ.ซม.
• ทรงที่เกิดจากกล่อง $8 \times 6 \times 4$ ซม. วางต่อกับกล่อง $4 \times 6 \times 4$ ซม. — ท่อนแรก $= 8 \times 6 \times 4 = 192$ ลบ.ซม. · ท่อนที่สอง $= 4 \times 6 \times 4 = 96$ ลบ.ซม. · รวม $= 192 + 96 = 288$ ลบ.ซม.
• ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีปริมาตร $240$ ลบ.ซม. ฐานกว้าง $8$ ซม. ยาว $5$ ซม. สูงเท่าไร — พื้นที่ฐาน $= 8 \times 5 = 40$ ตร.ซม. · หารด้วยพื้นที่ฐาน $240 \div 40 = 6$ จึงสูง $6$ ซม.

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["โจทย์ถามปริมาตร"] --> B{"ทรงอะไร"}
    B -- "ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก" --> C["กว้าง คูณ ยาว คูณ สูง"]
    B -- "ลูกบาศก์" --> D["ด้าน คูณ ด้าน คูณ ด้าน"]
    B -- "ปริซึมอื่น" --> E["พื้นที่ฐาน คูณ สูง"]
    B -- "ทรงที่ประกอบจากหลายท่อน" --> F["แบ่งเป็นท่อนย่อย<br/>หาปริมาตรแต่ละท่อนแล้วบวกกัน"]
    C --> G["ตรวจหน่วย<br/>ลบ.ซม. หรือ ลบ.ม."]
    D --> G
    E --> G
    F --> G

คำบรรยายภาพ: แผนผังการเลือกสูตรปริมาตรตามชนิดของทรง ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใช้กว้างคูณยาวคูณสูง ลูกบาศก์ใช้ด้านคูณด้านคูณด้าน ปริซึมอื่นใช้พื้นที่ฐานคูณความสูง และทรงที่ประกอบจากหลายท่อนให้แบ่งเป็นท่อนย่อยหาปริมาตรแล้วบวกกัน โดยคำตอบต้องเป็นลูกบาศก์หน่วย

องค์ความรู้

• ความจุ คือปริมาณที่ภาชนะหนึ่งบรรจุได้ (คิดจากขนาดภายใน) หน่วยที่ใช้ในชีวิตประจำวันคือ ลิตร (ล.) และ มิลลิลิตร (มล.)
• ความสัมพันธ์ที่ต้องท่องให้ขึ้นใจ
  • $1$ มิลลิลิตร $= 1$ ลบ.ซม.
  • $1$ ลิตร $= 1{,}000$ มิลลิลิตร $= 1{,}000$ ลบ.ซม.
  • $1$ ลบ.ม. $= 1{,}000$ ลิตร $= 1{,}000{,}000$ ลบ.ซม.
• หลักคิดของโจทย์ความจุ — คิดปริมาตรของภาชนะก่อน แล้วแปลงหน่วยเป็นลิตรหรือมิลลิลิตรตามที่โจทย์ถาม
• ความจุกับปริมาตรต่างกันที่ความหนาของภาชนะ — ปริมาตรคือที่ที่ทรงกินอยู่ ส่วนความจุคือที่ที่บรรจุได้ภายใน ถ้าภาชนะบางมากจนมองไม่เห็นความหนา เราใช้ค่าเดียวกันได้ แต่ถ้าโจทย์บอกความหนามา ต้องลบความหนาสองข้างออกก่อน
• หน่วยที่นักเรียนสับสนบ่อยที่สุดคือ ลบ.ซม. กับ มล. และ ลบ.ม. กับ ลิตร — ทั้งคู่เป็นหน่วยที่เท่ากัน ใช้แทนกันได้เลย

ตัวอย่างและวิธีคิด

• กล่องขนาด $20 \times 10 \times 15$ ซม. จุน้ำได้กี่ลิตร — ปริมาตร $= 20 \times 10 \times 15 = 3{,}000$ ลบ.ซม. · $1$ ลิตร $= 1{,}000$ ลบ.ซม. จึงจุได้ $3{,}000 \div 1{,}000 = 3$ ลิตร
• ถังน้ำจุได้ $200$ ลิตร คิดเป็นกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร — $200 \times 1{,}000 = 200{,}000$ ลบ.ซม.
• บ่อน้ำกว้าง $2$ ม. ยาว $1.5$ ม. ลึก $1$ ม. จุน้ำได้กี่ลิตร — ปริมาตร $= 2 \times 1.5 \times 1 = 3$ ลบ.ม. · $1$ ลบ.ม. $= 1{,}000$ ลิตร จึงจุได้ $3{,}000$ ลิตร
• ขวดน้ำ $1.5$ ลิตร มีน้ำอยู่เต็มขวด น้ำมีปริมาตรเท่าไรในหน่วยมิลลิลิตรและลูกบาศก์เซนติเมตร — $1.5 \times 1{,}000 = 1{,}500$ มล. และ $1$ มล. $= 1$ ลบ.ซม. จึงได้ $1{,}500$ ลบ.ซม.
• ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง $40$ ซม. ยาว $50$ ซม. สูง $30$ ซม. จุน้ำได้กี่ลิตร — ปริมาตร $= 40 \times 50 \times 30 = 60{,}000$ ลบ.ซม. · จุได้ $60{,}000 \div 1{,}000 = 60$ ลิตร

ภาพและไดอะแกรม

หน่วยความจุ	เท่ากับปริมาตร	เทียบหน่วยอื่น
$1$ มิลลิลิตร	$1$ ลบ.ซม.	$1$ ลิตร $= 1{,}000$ มล.
$1$ ลิตร	$1{,}000$ ลบ.ซม.	$1$ ลบ.ม. $= 1{,}000$ ลิตร
$1$ ลบ.ม.	$1{,}000{,}000$ ลบ.ซม.	$= 1{,}000$ ลิตร

คำบรรยายภาพ: ตารางความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยความจุกับหน่วยปริมาตร แสดงว่า 1 มิลลิลิตรเท่ากับ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร 1 ลิตรเท่ากับ 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร และ 1 ลูกบาศก์เมตรเท่ากับ 1,000 ลิตร หรือ 1,000,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

องค์ความรู้

• พื้นที่ผิว คือผลรวมของพื้นที่ของ ทุกหน้า ของรูปทรง หน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตร.ซม. · ตร.ม. — เหมาะกับโจทย์ห่อของ ทาสี หรือปิดสติกเกอร์
• ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีหน้าคู่ที่เท่ากัน 3 คู่ จึงใช้ $S = 2 \times (wl + wh + lh)$ เมื่อ $w$ = กว้าง · $l$ = ยาว · $h$ = สูง
• ลูกบาศก์ มี $6$ หน้าเท่ากัน จึงใช้ $S = 6 \times$ ด้าน $\times$ ด้าน
• ปริซึม พื้นที่ผิว $= 2 \times$ พื้นที่ฐาน $+$ (ความยาวรอบฐาน $\times$ ความสูง) — เพราะด้านข้างกางออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวเท่ารอบฐาน
• ถามหา พื้นที่ผิวเฉพาะบางส่วน (เช่น ไม่มีฝา กล่องเปิดข้างบน) ให้ลดพื้นที่หน้าที่ไม่ปิดออกจากผลรวม
• ทรงที่นำมาต่อกันหลายท่อน พื้นที่ผิว ไม่ใช่ผลบวกของพื้นที่ผิวเดิม เพราะรอยต่อที่ประกบกันจะหายไป ต้องลบพื้นที่รอยต่อออก

ตัวอย่างและวิธีคิด

• กล่องกว้าง $12$ ซม. ยาว $8$ ซม. สูง $5$ ซม. พื้นที่ผิวเท่าไร — $wl = 96$, $wh = 60$, $lh = 40$ · $S = 2 \times (96 + 60 + 40) = 2 \times 196 = 392$ ตร.ซม.
• ลูกบาศก์ด้านละ $7$ ซม. — $6 \times 7 \times 7 = 6 \times 49 = 294$ ตร.ซม.
• ปริซึมฐานสามเหลี่ยม ฐานยาว $6$ ซม. สูง $4$ ซม. ด้านข้างยาว $5$ ซม. และทรงสูง $10$ ซม. — พื้นที่ฐาน $= \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ ตร.ซม. · ความยาวรอบฐาน $= 6 + 5 + 5 = 16$ ซม. · $S = 2 \times 12 + 16 \times 10 = 24 + 160 = 184$ ตร.ซม.
• กล่องไม่มีฝาขนาด $12 \times 8 \times 5$ ซม. — คิดพื้นที่ผิวปกติ $392$ ตร.ซม. แล้วลบหน้าเปิด (กว้างคูณยาว) $96$ ตร.ซม. ได้ $392 - 96 = 296$ ตร.ซม.

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["โจทย์ถามพื้นที่ผิว"] --> B{"ทรงอะไร"}
    B -- "ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก" --> C["2 คูณ ผลบวกของ<br/>กว้างคูณยาว + กว้างคูณสูง + ยาวคูณสูง"]
    B -- "ลูกบาศก์" --> D["6 คูณ ด้าน คูณ ด้าน"]
    B -- "ปริซึม" --> E["2 คูณ พื้นที่ฐาน + ความยาวรอบฐาน คูณ สูง"]
    C --> F["ถ้าไม่มีฝาหรือปิดไม่ครบหน้า<br/>ให้ลบพื้นที่หน้านั้นออก"]
    D --> F
    E --> F

คำบรรยายภาพ: แผนผังการเลือกสูตรพื้นที่ผิวตามชนิดของทรง ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใช้สองคูณผลบวกของพื้นที่หน้าทั้งสามคู่ ลูกบาศก์ใช้หกคูณด้านคูณด้าน และปริซึมใช้สองคูณพื้นที่ฐานบวกความยาวรอบฐานคูณความสูง ถ้าโจทย์บอกว่าทรงไม่มีฝาหรือปิดไม่ครบทุกหน้า ต้องลบพื้นที่หน้าที่หายไปออกจากผลรวม

องค์ความรู้

• แยกให้ออกก่อนว่าโจทย์ถามอะไร — ถาม «บรรจุได้เท่าไร» · «กินที่เท่าไร» คือ ปริมาตร · ถาม «ห่อของ» · «ทาสี» · «ปิดกระดาษ» คือ พื้นที่ผิว
• ขั้นตอนการแทนค่าที่ไม่พลาด
  1. อ่านหน่วยของทุกด้านให้ครบ แล้วแปลงให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อนคำนวณ
  2. เขียนสูตรก่อน แล้วค่อยแทนตัวเลข (เขียนสูตรผิดก็ย้อนดูง่าย)
  3. คิดในวงเล็บหรือเศษส่วนให้เสร็จก่อน แล้วค่อยคูณตัวคูณข้างหน้า
  4. ตรวจหน่วยของคำตอบ — ลบ.หน่วยสำหรับปริมาตร · ตร.หน่วยสำหรับพื้นที่ผิว
• ข้อเท็จจริงที่ช่วยตอบเร็ว — ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากทุกทรงเป็นปริซึม · ทรงที่มีฐานเท่ากันและสูงเท่ากันมีปริมาตรเท่ากันเสมอ ไม่ว่าจะวางเอียงหรือพลิกก็ตาม
• โจทย์ย้อนกลับ ถ้ารู้ปริมาตรและถามความยาวด้านของลูกบาศก์ ให้หาว่าจำนวนใดคูณตัวเองสามครั้งได้เท่ากับปริมาตรนั้น (เช่น $343$ มาจาก $7 \times 7 \times 7$ จึงได้ด้าน $7$ ซม.)

รูปทรง	ปริมาตร	พื้นที่ผิว
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก	$w \times l \times h$	$2 \times (wl + wh + lh)$
ลูกบาศก์	ด้าน $\times$ ด้าน $\times$ ด้าน	$6 \times$ ด้าน $\times$ ด้าน
ปริซึม	พื้นที่ฐาน $\times$ สูง	$2 \times$ พื้นที่ฐาน $+$ รอบฐาน $\times$ สูง

ตัวอย่างและวิธีคิด

• ลูกบาศก์ด้านละ $5$ ซม. หาปริมาตรและพื้นที่ผิว — ปริมาตร $= 5 \times 5 \times 5 = 125$ ลบ.ซม. · พื้นที่ผิว $= 6 \times 5 \times 5 = 150$ ตร.ซม. สังเกตว่าคำตอบสองตัวหน่วยต่างกันและตัวเลขก็ไม่เท่ากัน
• ลูกบาศก์มีปริมาตร $343$ ลบ.ซม. ด้านยาวเท่าไร และพื้นที่ผิวเท่าไร — หาจำนวนที่คูณตัวเองสามครั้งได้ $343$ คือ $7$ จึงได้ด้าน $7$ ซม. · พื้นที่ผิว $= 6 \times 7 \times 7 = 294$ ตร.ซม.
• ต้องใช้กระดาษห่อของขวัญห่อกล่อง $25 \times 15 \times 10$ ซม. ต้องใช้กระดาษอย่างน้อยกี่ตารางเซนติเมตร — คำว่า «ห่อ» คือถามพื้นที่ผิว · $wl = 375$, $wh = 250$, $lh = 150$ · $S = 2 \times (375 + 250 + 150) = 2 \times 775 = 1{,}550$ ตร.ซม.
• ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง $50$ ซม. ยาว $60$ ซม. สูง $40$ ซม. บรรจุน้ำได้กี่ลิตร — ปริมาตร $= 50 \times 60 \times 40 = 120{,}000$ ลบ.ซม. · $1$ ลิตร $= 1{,}000$ ลบ.ซม. จึงได้ $120$ ลิตร
• กล่อง $20 \times 10 \times 6$ ซม. ห่อด้วยกระดาษทั้งใบ กระดาษ 1 แผ่นมีพื้นที่ $1{,}000$ ตร.ซม. แผ่นเดียวพอไหม — พื้นที่ผิวกล่อง $= 2 \times (200 + 120 + 60) = 2 \times 380 = 760$ ตร.ซม. ซึ่งน้อยกว่า $1{,}000$ ตร.ซม. จึงใช้กระดาษแผ่นเดียวพอ

ภาพและไดอะแกรม

flowchart TD
    A["อ่านโจทย์"] --> B{"โจทย์พูดว่าอะไร"}
    B -- "บรรจุ · จุได้ · กินที่ · ลบ.ซม." --> C["หาปริมาตร"]
    B -- "ห่อ · ทาสี · ปิดกระดาษ · ตร.ซม." --> D["หาพื้นที่ผิว"]
    C --> E["แปลงหน่วยให้ตรงกันก่อนแทนค่า"]
    D --> E
    E --> F["เขียนสูตร แล้วแทนตัวเลข"]
    F --> G["ตรวจหน่วยของคำตอบ"]

คำบรรยายภาพ: แผนผังการเลือกสูตรระหว่างปริมาตรกับพื้นที่ผิว เริ่มจากอ่านคำในโจทย์ ถ้าพูดถึงการบรรจุ การจุได้ หรือการกินที่ ให้หาปริมาตร ถ้าพูดถึงการห่อ การทาสี หรือการปิดกระดาษ ให้หาพื้นที่ผิว จากนั้นแปลงหน่วยให้ตรงกัน เขียนสูตรแล้วแทนตัวเลข และตรวจหน่วยของคำตอบว่าเป็นลูกบาศก์หน่วยหรือตารางหน่วย